Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (y - 2)}{x (y - 1)}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (y - 2)}{y - 1} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{y - 1}{y (y - 2)}$ .

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y (y - 2)} (\frac{y (y - 2)}{y - 1} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{y (y - 2)}{y - 1}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{(y - 1) x}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $y - 1$ .

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $y - 1$ de $(y - 1) x$ .

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{(y - 1) (x)}$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{(y - 1) x}$

Paso 1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{x}$

Paso 1.3.3

Cancela el factor común de $y (y - 2)$ .

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Paso 1.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{x}$

Paso 1.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} d y = \frac{1}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y - 1}{y (y - 2)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = y (y - 2)$ . Entonces $d u = (2 y - 2) d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = (y - 1) d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = y (y - 2)$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $y (y - 2)$ .

$\frac{d}{d y} [y (y - 2)]$

Paso 2.2.1.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = y$ y $g (y) = y - 2$ .

$y \frac{d}{d y} [y - 2] + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.3

Diferencia.

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Paso 2.2.1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 2$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$y (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y (1 + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.3.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$y (1 + 0) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1.1.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$y \cdot 1 + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.3.4.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$y + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y + (y - 2) \cdot 1$

Paso 2.2.1.1.3.6

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1.1.3.6.1

Multiplica $y - 2$ por $1$ .

$y + y - 2$

Paso 2.2.1.1.3.6.2

Suma $y$ y $y$ .

$2 y - 2$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y (y - 2)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y (y - 2) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y (y - 2) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y (y - 2) |) = \ln (| x |) + C$