Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x + x y^{2}}{2 + x^{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza $x$ de $4 x + x y^{2}$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $x$ de $4 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 + x y^{2}}{2 + x^{2}}$

Paso 1.1.2

Factoriza $x$ de $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 + x (y^{2})}{2 + x^{2}}$

Paso 1.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot 4 + x (y^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot (4 + y^{2})}{2 + x^{2}}$

Paso 1.1.4

Multiplica $x$ por $4 + y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 + y^{2})}{2 + x^{2}}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 + x^{2}} (4 + y^{2})$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{4 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 + y^{2}} (\frac{x}{2 + x^{2}} (4 + y^{2}))$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $4 + y^{2}$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $4 + y^{2}$ de $\frac{x}{2 + x^{2}} (4 + y^{2})$ .

$\frac{1}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 + y^{2}} ((4 + y^{2}) \frac{x}{2 + x^{2}})$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 + y^{2}} ((4 + y^{2}) \frac{x}{2 + x^{2}})$

Paso 1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 + x^{2}}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{4 + y^{2}} d y = \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{4 + y^{2}} d y = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\int \frac{1}{2^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{2^{2} + y^{2}}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} \arctan (\frac{y}{2}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{y}{2}) + C_{1} = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

Paso 2.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.2.3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\arctan (\frac{y}{2})$ .

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} + C_{1} = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

Paso 2.2.3.2

Reescribe $\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} + C_{1}$ como $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u = 2 + x^{2}$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u = 2 + x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $2 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x^{2}]$

Paso 2.3.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.1.1.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Paso 2.3.1.1.5

Suma $0$ y $2 x$ .

$2 x$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 2.3.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Paso 2.3.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 2.3.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 + x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) + C$ por $2$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) + C$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) \cdot 2 = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{y}{2}) \cdot 2 = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Paso 3.1.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\arctan (\frac{y}{2})$ .

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} \cdot 2 = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Paso 3.1.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} \cdot 2 = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Paso 3.1.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2 + C \cdot 2$

Paso 3.1.3.1.2

Multiplica $\ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ .

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Paso 3.1.3.1.2.1

Reordena $\ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})$ y $2$ .

$\arctan (\frac{y}{2}) = 2 \cdot \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C \cdot 2$

Paso 3.1.3.1.2.2

Simplifica $2 \cdot \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})}^{2}) + C \cdot 2$

Paso 3.1.3.1.3

Multiplica los exponentes en ${({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.1.3.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + C \cdot 2$

Paso 3.1.3.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.3.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + C \cdot 2$

Paso 3.1.3.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({| 2 + x^{2} |}^{1}) + C \cdot 2$

Paso 3.1.3.1.4

Simplifica.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln (| 2 + x^{2} |) + C \cdot 2$

Paso 3.1.3.1.5

Mueve $2$ a la izquierda de $C$ .

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C$

Paso 3.2

Calcula la inversa de la arcotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la arcotangente.

$\frac{y}{2} = \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C)$

Paso 3.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C)$

Paso 3.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y}{2} = 2 \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C)$

Paso 3.4.1.2

Reescribe la expresión.

$y = 2 \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C)$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = 2 \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + C)$