Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} = \frac{t e^{t}}{y \sqrt{7 + y^{2}}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y \sqrt{7 + y^{2}}$ .

$y \sqrt{7 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = y \sqrt{7 + y^{2}} \frac{t e^{t}}{y \sqrt{7 + y^{2}}}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y \sqrt{7 + y^{2}}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$y \sqrt{7 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = y \sqrt{7 + y^{2}} \frac{t e^{t}}{y \sqrt{7 + y^{2}}}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$y \sqrt{7 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = t e^{t}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$y \sqrt{7 + y^{2}} d y = t e^{t} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y \sqrt{7 + y^{2}} d y = \int t e^{t} d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = 7 + y^{2}$ . Entonces $d u = 2 y d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = 7 + y^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $7 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [7 + y^{2}]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $7 + y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [7] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [7] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.2.1.1.3

Como $7$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $7$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $0$ y $2 y$ .

$2 y$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u = \int t e^{t} d t$

Paso 2.2.2

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{2} d u = \int t e^{t} d t$

Paso 2.2.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u = \int t e^{t} d t$

Paso 2.2.4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u = \int t e^{t} d t$

Paso 2.2.5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1}) = \int t e^{t} d t$

Paso 2.2.6

Simplifica.

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Paso 2.2.6.1

Reescribe $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1})$ como $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Paso 2.2.6.2

Simplifica.

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Paso 2.2.6.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Paso 2.2.6.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Paso 2.2.6.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 2.2.6.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Paso 2.2.6.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.6.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Paso 2.2.6.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Paso 2.2.6.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Paso 2.2.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7 + y^{2}$ .

$\frac{1}{3} {(7 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = t$ y $d v = e^{t}$ .

$\frac{1}{3} {(7 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = t e^{t} - \int e^{t} d t$

Paso 2.3.2

La integral de $e^{t}$ con respecto a $t$ es $e^{t}$ .

$\frac{1}{3} {(7 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = t e^{t} - (e^{t} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica.

$\frac{1}{3} {(7 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = t e^{t} - e^{t} + C_{2}$

Paso 2.3.4

Reordena los términos.

$\frac{1}{3} {(7 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{1} = e^{t} t - e^{t} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{3} {(7 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} = e^{t} t - e^{t} + K$