Cálculo Ejemplos

$(y + \sin (x)) d y + (y \cos (x) - 2 x) d x = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

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Paso 1.1

Reescribe.

$(y \cos (x) - 2 x) d x + (y + \sin (x)) d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y \cos (x) - 2 x$ .

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Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \cos (x) - 2 x]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y \cos (x) - 2 x$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [y \cos (x)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $\cos (x)$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y \cos (x)$ con respecto a $y$ es $\cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Paso 2.3.3

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $- 2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + 0$

Paso 2.4.2

Suma $\cos (x)$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x)$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = y + \sin (x)$ .

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Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + \sin (x)]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y + \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 3.2.2

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 3.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \cos (x)$

Paso 3.4

Suma $0$ y $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x)$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $\cos (x)$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $\cos (x)$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\cos (x) = \cos (x)$

Paso 4.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\cos (x) = \cos (x)$ es una identidad.

Paso 5

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y + \sin (x) d y$

Paso 6

Integra $N (x, y) = y + \sin (x)$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 6.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int y d y + \int \sin (x) d y$

Paso 6.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int \sin (x) d y$

Paso 6.3

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \sin (x) y + C$

Paso 6.4

Simplifica.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y + C$

Paso 7

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y + g (x)$

Paso 8

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \cos (x) - 2 x$

Paso 9

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 9.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y + g (x)] = y \cos (x) - 2 x$

Paso 9.2

Diferencia.

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Paso 9.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) - 2 x$

Paso 9.2.2

Como $\frac{1}{2} y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2} y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) - 2 x$

Paso 9.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin (x) y]$ .

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Paso 9.3.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\sin (x) y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$0 + y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) - 2 x$

Paso 9.3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$0 + y \cos (x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) - 2 x$

Paso 9.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + y \cos (x) + \frac{d g}{d x} = y \cos (x) - 2 x$

Paso 9.5

Simplifica.

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Paso 9.5.1

Suma $0$ y $y \cos (x)$ .

$y \cos (x) + \frac{d g}{d x} = y \cos (x) - 2 x$

Paso 9.5.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x) = y \cos (x) - 2 x$

Paso 10

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 10.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.1.1

Resta $y \cos (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = y \cos (x) - 2 x - y \cos (x)$

Paso 10.1.2

Combina los términos opuestos en $y \cos (x) - 2 x - y \cos (x)$ .

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Paso 10.1.2.1

Resta $y \cos (x)$ de $y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x + 0$

Paso 10.1.2.2

Suma $- 2 x$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x$

Paso 11

Obtén la antiderivada de $- 2 x$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 11.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = - 2 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 2 x d x$

Paso 11.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - 2 x d x$

Paso 11.3

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$g (x) = - 2 \int x d x$

Paso 11.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 11.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.5.1

Reescribe $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Paso 11.5.2

Simplifica.

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Paso 11.5.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{- 2}{2} x^{2} + C$

Paso 11.5.2.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 11.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C$

Paso 11.5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.5.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C$

Paso 11.5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Paso 11.5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$g (x) = \frac{- 1}{1} x^{2} + C$

Paso 11.5.2.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$g (x) = - x^{2} + C$

Paso 12

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y - x^{2} + C$

Paso 13

Simplifica $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y - x^{2} + C$ .

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Paso 13.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \sin (x) y - x^{2} + C$

Paso 13.2

Reordena los factores en $f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \sin (x) y - x^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + y \sin (x) - x^{2} + C$