Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 y - 2}$

Paso 1

Separa las variables.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $2 y - 2$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = (2 y - 2) \frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 y - 2}$

Paso 1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Factoriza $2$ de $2 y - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.1

Factoriza $2$ de $2 y$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = (2 y - 2) \frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 (y) - 2}$

Paso 1.2.1.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = (2 y - 2) \frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 (y) + 2 (- 1)}$

Paso 1.2.1.3

Factoriza $2$ de $2 (y) + 2 (- 1)$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = (2 y - 2) \frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 (y - 1)}$

Paso 1.2.2

Multiplica $2 y - 2$ por $\frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 (y - 1)}$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = \frac{(2 y - 2) (3 x^{2} + 4 x + 2)}{2 (y - 1)}$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de $2 y - 2$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Factoriza $2$ de $(2 y - 2) (3 x^{2} + 4 x + 2)$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((y - 1) (3 x^{2} + 4 x + 2))}{2 (y - 1)}$

Paso 1.2.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((y - 1) (3 x^{2} + 4 x + 2))}{2 (y - 1)}$

Paso 1.2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 1) (3 x^{2} + 4 x + 2)}{y - 1}$

Paso 1.2.4

Cancela el factor común de $y - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1

Cancela el factor común.

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 1) (3 x^{2} + 4 x + 2)}{y - 1}$

Paso 1.2.4.2

Divide $3 x^{2} + 4 x + 2$ por $1$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 4 x + 2$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$(2 y - 2) d y = (3 x^{2} + 4 x + 2) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int 2 y - 2 d y = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 2 y d y + \int - 2 d y = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Paso 2.2.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int y d y + \int - 2 d y = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Paso 2.2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 2 d y = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Paso 2.2.4

Aplica la regla de la constante.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Paso 2.2.5.2

Simplifica.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int 4 x d x + \int 2 d x$

Paso 2.3.2

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 \int x^{2} d x + \int 4 x d x + \int 2 d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int 4 x d x + \int 2 d x$

Paso 2.3.4

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 \int x d x + \int 2 d x$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \int 2 d x$

Paso 2.3.6

Aplica la regla de la constante.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + 2 x + C_{6}$

Paso 2.3.7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.7.1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.7.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + 2 x + C_{6}$

Paso 2.3.7.1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{5}) + 2 x + C_{6}$

Paso 2.3.7.2

Simplifica.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + C_{7}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y^{2} - 2 y = x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Resta $x^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} - 2 y - x^{3} = 2 x^{2} + 2 x + K$

Paso 3.1.2

Resta $2 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} - 2 y - x^{3} - 2 x^{2} = 2 x + K$

Paso 3.1.3

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} - 2 y - x^{3} - 2 x^{2} - 2 x = K$

Paso 3.1.4

Resta $K$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} - 2 y - x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - K = 0$

Paso 3.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2$ y $c = - x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - K$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - K))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 (- x^{3}) - 4 (- 2 x^{2}) - 4 (- 2 x) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{3} - 4 (- 2 x^{2}) - 4 (- 2 x) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.4.2

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 4 (- 2 x) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.4.3

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.4.4

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.5

Factoriza $4$ de $4 + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4 K$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1.5.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.5.2

Factoriza $4$ de $4 x^{3}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 (x^{3}) + 8 x^{2} + 8 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.5.3

Factoriza $4$ de $8 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 (x^{3}) + 4 (2 x^{2}) + 8 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.5.4

Factoriza $4$ de $8 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 (x^{3}) + 4 (2 x^{2}) + 4 (2 x) + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.5.5

Factoriza $4$ de $4 \cdot 1 + 4 (x^{3})$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{3}) + 4 (2 x^{2}) + 4 (2 x) + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.5.6

Factoriza $4$ de $4 \cdot (1 + x^{3}) + 4 (2 x^{2})$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{3} + 2 x^{2}) + 4 (2 x) + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.5.7

Factoriza $4$ de $4 \cdot (1 + x^{3} + 2 x^{2}) + 4 (2 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.5.8

Factoriza $4$ de $4 \cdot (1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) + 4 K$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.6

Reescribe $4 (1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K)$ como $2^{2} (1^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1.6.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.6.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.7

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}}{2}$

Paso 3.4.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}$

Paso 3.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = 1 + \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}$

$y = 1 + \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}$