Cálculo Ejemplos

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + 2 x y = x$

Paso 1

Comprueba si el lado izquierdo de la ecuación es el resultado de la derivada del término $(1 + x^{2}) y$ .

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 1 + x^{2}$ y $g (x) = y$ .

$(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$(1 + x^{2}) y' + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 1.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + 2 x)$

Paso 1.6

Suma $0$ y $2 x$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (2 x)$

Paso 1.7

Sustituye $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Paso 1.8

Reordena $1$ y $x^{2}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Paso 1.9

Elimina los paréntesis.

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Paso 1.10

Mueve $y$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Paso 2

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] = x$

Paso 3

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] d x = \int x d x$

Paso 4

Integra el lado izquierdo.

$(1 + x^{2}) y = \int x d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$(1 + x^{2}) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 6

Divide cada término en $(1 + x^{2}) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ por $1 + x^{2}$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $(1 + x^{2}) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ por $1 + x^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $1 + x^{2}$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Paso 6.3.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Paso 6.3.1.3

Multiplica $\frac{x^{2}}{2}$ por $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Paso 6.3.2

Para escribir $\frac{C}{1 + x^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{2}} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 6.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $2 (1 + x^{2})$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.3.3.1

Multiplica $\frac{C}{1 + x^{2}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C \cdot 2}{(1 + x^{2}) \cdot 2}$

Paso 6.3.3.2

Reordena los factores de $(1 + x^{2}) \cdot 2$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C \cdot 2}{2 (1 + x^{2})}$

Paso 6.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x^{2} + C \cdot 2}{2 (1 + x^{2})}$

Paso 6.3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $C$ .

$y = \frac{x^{2} + 2 C}{2 (1 + x^{2})}$