Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = {(3 x + 2)}^{- 2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = {(3 x + 2)}^{- 2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int {(3 x + 2)}^{- 2} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int {(3 x + 2)}^{- 2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u = 3 x + 2$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u = 3 x + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Paso 2.3.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 2.3.1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.1.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1.1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 + 0$

Paso 2.3.1.1.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = \int u^{- 2} \frac{1}{3} d u$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Combina $u^{- 2}$ y $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{- 2}}{3} d u$

Paso 2.3.2.2

Mueve $u^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{3 u^{2}} d u$

Paso 2.3.3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 2.3.4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.4.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Paso 2.3.4.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Paso 2.3.4.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int u^{- 2} d u$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- u^{- 1} + C_{2})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Reescribe $\frac{1}{3} (- u^{- 1} + C_{2})$ como $\frac{1}{3} (- \frac{1}{u}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- \frac{1}{u}) + C_{2}$

Paso 2.3.6.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{u}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3 u} + C_{2}$

Paso 2.3.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x + 2$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3 (3 x + 2)} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = - \frac{1}{3 (3 x + 2)} + K$