Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{3} x \sqrt{1 - 9 y^{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} (\frac{2}{3} x \sqrt{1 - 9 y^{2}})$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} (x \sqrt{1 - 9 y^{2}})$

Paso 1.2.2

Combinar.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{3 \sqrt{1 - 9 y^{2}}} (x \sqrt{1 - 9 y^{2}})$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de $\sqrt{1 - 9 y^{2}}$ .

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Paso 1.2.3.1

Factoriza $\sqrt{1 - 9 y^{2}}$ de $3 \sqrt{1 - 9 y^{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}} \cdot 3} (x \sqrt{1 - 9 y^{2}})$

Paso 1.2.3.2

Factoriza $\sqrt{1 - 9 y^{2}}$ de $x \sqrt{1 - 9 y^{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}} \cdot 3} (\sqrt{1 - 9 y^{2}} x)$

Paso 1.2.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}} \cdot 3} (\sqrt{1 - 9 y^{2}} x)$

Paso 1.2.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{3} x$

Paso 1.2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3} x$

Paso 1.2.5

Combina $\frac{2}{3}$ y $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} d y = \frac{2 x}{3} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} d y = \int \frac{2 x}{3} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Escribe la expresión usando exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - 9 y^{2}}} d y = \int \frac{2 x}{3} d x$

Paso 2.2.1.2

Reescribe $9 y^{2}$ como ${(3 y)}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(3 y)}^{2}}} d y = \int \frac{2 x}{3} d x$

Paso 2.2.2

Sea $u = 3 y$ . Entonces $d u = 3 d y$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.2.1

Deja $u = 3 y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Diferencia $3 y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y]$

Paso 2.2.2.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 y$ con respecto a $y$ es $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 2.2.2.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 2.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u = \int \frac{2 x}{3} d x$

Paso 2.2.3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u = \int \frac{2 x}{3} d x$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ con respecto a $u$ es $\arcsin (u)$ .

$\frac{1}{3} (\arcsin (u) + C_{1}) = \int \frac{2 x}{3} d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{3} \arcsin (u) + C_{1} = \int \frac{2 x}{3} d x$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 y$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \int \frac{2 x}{3} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{2}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{3} \int x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $\frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{3 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{6} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 2.3.3.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2 (1)}{6} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) = \frac{1}{3} x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{3} \arcsin (3 y) = \frac{1}{3} x^{2} + K$ por $3$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{3} \arcsin (3 y) = \frac{1}{3} x^{2} + K$ por $3$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 + K \cdot 3$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $\arcsin (3 y)$ .

$\frac{\arcsin (3 y)}{3} \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 + K \cdot 3$

Paso 3.1.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\arcsin (3 y)}{3} \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 + K \cdot 3$

Paso 3.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\arcsin (3 y) = \frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 + K \cdot 3$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{2}$ .

$\arcsin (3 y) = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3 + K \cdot 3$

Paso 3.1.3.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.1.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$\arcsin (3 y) = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3 + K \cdot 3$

Paso 3.1.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\arcsin (3 y) = x^{2} + K \cdot 3$

Paso 3.1.3.1.3

Mueve $3$ a la izquierda de $K$ .

$\arcsin (3 y) = x^{2} + 3 K$

Paso 3.2

Calcula la inversa del arcoseno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior del arcoseno.

$3 y = \sin (x^{2} + 3 K)$

Paso 3.3

Divide cada término en $3 y = \sin (x^{2} + 3 K)$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $3 y = \sin (x^{2} + 3 K)$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\sin (x^{2} + 3 K)}{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\sin (x^{2} + 3 K)}{3}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\sin (x^{2} + 3 K)}{3}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\sin (x^{2} + K)}{3}$