Cálculo Ejemplos

$(3 x - 1) \frac{d y}{d x} = 6 y - 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Resta $6 y$ de ambos lados de la ecuación.

$(3 x - 1) \frac{d y}{d x} - 6 y = - 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 1.2

Divide cada término en $(3 x - 1) \frac{d y}{d x} - 6 y = - 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ por $3 x - 1$ .

$\frac{(3 x - 1) \frac{d y}{d x}}{3 x - 1} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 x - 1}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $3 x - 1$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{(3 x - 1) \frac{d y}{d x}}{3 x - 1} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 x - 1}$

Paso 1.3.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 x - 1}$

Paso 1.4

Factoriza $3 x - 1$ de $- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{(3 x - 1) (- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}})}{3 x - 1}$

Paso 1.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{(3 x - 1) (- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}})}{(3 x - 1) \cdot 1}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{(3 x - 1) (- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}})}{(3 x - 1) \cdot 1}$

Paso 1.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}}}{1}$

Paso 1.5.4

Divide $- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = - 10 {(3 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}}$

Paso 1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = - 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

Paso 1.7

Factoriza $y$ de $\frac{- 6 y}{3 x - 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 6}{3 x - 1} = - 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

Paso 1.8

Reordena $y$ y $\frac{- 6}{3 x - 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6}{3 x - 1} y = - 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{- 6}{3 x - 1}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{- 6}{3 x - 1} d x}$

Paso 2.2

Integra $\frac{- 6}{3 x - 1}$ .

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Paso 2.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{\int - \frac{6}{3 x - 1} d x}$

Paso 2.2.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \frac{6}{3 x - 1} d x}$

Paso 2.2.3

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$e^{- (6 \int \frac{1}{3 x - 1} d x)}$

Paso 2.2.4

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$e^{- 6 \int \frac{1}{3 x - 1} d x}$

Paso 2.2.5

Sea $u = 3 x - 1$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.5.1

Deja $u = 3 x - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.2.5.1.1

Diferencia $3 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Paso 2.2.5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 2.2.5.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.5.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2.5.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.2.5.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 + 0$

Paso 2.2.5.1.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

Paso 2.2.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{- 6 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u}$

Paso 2.2.6

Simplifica.

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Paso 2.2.6.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 6 \int \frac{1}{u \cdot 3} d u}$

Paso 2.2.6.2

Mueve $3$ a la izquierda de $u$ .

$e^{- 6 \int \frac{1}{3 u} d u}$

Paso 2.2.7

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$e^{- 6 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)}$

Paso 2.2.8

Simplifica.

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Paso 2.2.8.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 6$ .

$e^{\frac{- 6}{3} \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 2.2.8.2

Cancela el factor común de $- 6$ y $3$ .

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Paso 2.2.8.2.1

Factoriza $3$ de $- 6$ .

$e^{\frac{3 \cdot - 2}{3} \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 2.2.8.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.8.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$e^{\frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 2.2.8.2.2.2

Cancela el factor común.

$e^{\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 2.2.8.2.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{\frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 2.2.8.2.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 2.2.9

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| u |) + C)}$

Paso 2.2.10

Simplifica.

$e^{- 2 \ln (| u |) + C}$

Paso 2.2.11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x - 1$ .

$e^{- 2 \ln (| 3 x - 1 |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- 2 \ln (3 x - 1)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln ({(3 x - 1)}^{- 2})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

${(3 x - 1)}^{- 2}$

Paso 2.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (\frac{- 6}{3 x - 1} y) = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ y $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} + \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (\frac{- 6}{3 x - 1} y) = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Paso 3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} + \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- \frac{6}{3 x - 1} y) = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Paso 3.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (\frac{6}{3 x - 1} y) = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Paso 3.2.4

Combina $\frac{6}{3 x - 1}$ y $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} \cdot \frac{6 y}{3 x - 1} = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Paso 3.2.5

Multiplica $- \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} \cdot \frac{6 y}{3 x - 1}$ .

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Paso 3.2.5.1

Multiplica $\frac{6 y}{3 x - 1}$ por $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{(3 x - 1) {(3 x - 1)}^{2}} = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Paso 3.2.5.2

Multiplica $3 x - 1$ por ${(3 x - 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.5.2.1

Multiplica $3 x - 1$ por ${(3 x - 1)}^{2}$ .

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Paso 3.2.5.2.1.1

Eleva $3 x - 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{1} {(3 x - 1)}^{2}} = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Paso 3.2.5.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{1 + 2}} = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Paso 3.2.5.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = - 10 \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

Paso 3.4

Combina $- 10$ y $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = \frac{- 10}{{(3 x - 1)}^{2}} {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

Paso 3.5

Cancela el factor común de ${(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

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Paso 3.5.1

Factoriza ${(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ de ${(3 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = \frac{- 10}{{(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}} {(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

Paso 3.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = \frac{- 10}{{(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}} {(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

Paso 3.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = \frac{- 10}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}}$

Paso 3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = - \frac{10}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y] = - \frac{10}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y] d x = \int - \frac{10}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \int - \frac{10}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \int \frac{10}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} d x$

Paso 7.2

Dado que $10$ es constante con respecto a $x$ , mueve $10$ fuera de la integral.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - (10 \int \frac{1}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} d x)$

Paso 7.3

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - 10 \int \frac{1}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} d x$

Paso 7.4

Sea $u = 3 x - 1$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.4.1

Deja $u = 3 x - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.4.1.1

Diferencia $3 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Paso 7.4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 7.4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 7.4.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 7.4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 7.4.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 7.4.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 7.4.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 + 0$

Paso 7.4.1.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

Paso 7.4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - 10 \int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Paso 7.5

Simplifica.

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Paso 7.5.1

Multiplica $\frac{1}{u^{\frac{8}{3}}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - 10 \int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}} \cdot 3} d u$

Paso 7.5.2

Mueve $3$ a la izquierda de $u^{\frac{8}{3}}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - 10 \int \frac{1}{3 u^{\frac{8}{3}}} d u$

Paso 7.6

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - 10 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}}} d u)$

Paso 7.7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.7.1

Simplifica.

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Paso 7.7.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 10$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{- 10}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}}} d u$

Paso 7.7.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}}} d u$

Paso 7.7.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 7.7.2.1

Mueve $u^{\frac{8}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} \int {(u^{\frac{8}{3}})}^{- 1} d u$

Paso 7.7.2.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{8}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 7.7.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} \int u^{\frac{8}{3} \cdot - 1} d u$

Paso 7.7.2.2.2

Multiplica $\frac{8}{3} \cdot - 1$ .

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Paso 7.7.2.2.2.1

Combina $\frac{8}{3}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} \int u^{\frac{8 \cdot - 1}{3}} d u$

Paso 7.7.2.2.2.2

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} \int u^{\frac{- 8}{3}} d u$

Paso 7.7.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} \int u^{- \frac{8}{3}} d u$

Paso 7.8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{8}{3}}$ con respecto a $u$ es $- \frac{3}{5} u^{- \frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} (- \frac{3}{5} u^{- \frac{5}{3}} + C)$

Paso 7.9

Simplifica.

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Paso 7.9.1

Reescribe $- \frac{10}{3} (- \frac{3}{5} u^{- \frac{5}{3}} + C)$ como $- \frac{10}{3} (- \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{u^{\frac{5}{3}}}) + C$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} (- \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{u^{\frac{5}{3}}}) + C$

Paso 7.9.2

Simplifica.

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Paso 7.9.2.1

Multiplica $\frac{1}{u^{\frac{5}{3}}}$ por $\frac{3}{5}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} (- \frac{3}{u^{\frac{5}{3}} \cdot 5}) + C$

Paso 7.9.2.2

Mueve $5$ a la izquierda de $u^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} (- \frac{3}{5 \cdot u^{\frac{5}{3}}}) + C$

Paso 7.9.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = 1 (\frac{10}{3}) \frac{3}{5 u^{\frac{5}{3}}} + C$

Paso 7.9.2.4

Multiplica $\frac{10}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{5 u^{\frac{5}{3}}} + C$

Paso 7.9.2.5

Multiplica $\frac{10}{3}$ por $\frac{3}{5 u^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{10 \cdot 3}{3 (5 u^{\frac{5}{3}})} + C$

Paso 7.9.2.6

Multiplica $10$ por $3$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{30}{3 (5 u^{\frac{5}{3}})} + C$

Paso 7.9.2.7

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{30}{15 u^{\frac{5}{3}}} + C$

Paso 7.9.2.8

Factoriza $15$ de $30$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{15 \cdot 2}{15 u^{\frac{5}{3}}} + C$

Paso 7.9.2.9

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.9.2.9.1

Factoriza $15$ de $15 u^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{15 \cdot 2}{15 (u^{\frac{5}{3}})} + C$

Paso 7.9.2.9.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{15 \cdot 2}{15 u^{\frac{5}{3}}} + C$

Paso 7.9.2.9.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{2}{u^{\frac{5}{3}}} + C$

Paso 7.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x - 1$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} + C$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 8.1.1

Resta $\frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y - \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} = C$

Paso 8.1.2

Resta $C$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y - \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} - C = 0$

Paso 8.1.3

Combina $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ y $y$ .

$\frac{y}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} - C = 0$

Paso 8.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 8.2.1

Suma $\frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{y}{{(3 x - 1)}^{2}} - C = \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 8.2.2

Suma $C$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{y}{{(3 x - 1)}^{2}} = \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} + C$

Paso 8.3

Multiplica ambos lados por ${(3 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{y}{{(3 x - 1)}^{2}} {(3 x - 1)}^{2} = (\frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} + C) {(3 x - 1)}^{2}$

Paso 8.4

Simplifica.

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Paso 8.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.4.1.1

Cancela el factor común de ${(3 x - 1)}^{2}$ .

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Paso 8.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{{(3 x - 1)}^{2}} {(3 x - 1)}^{2} = (\frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} + C) {(3 x - 1)}^{2}$

Paso 8.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (\frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} + C) {(3 x - 1)}^{2}$

Paso 8.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.4.2.1

Simplifica $(\frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} + C) {(3 x - 1)}^{2}$ .

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Paso 8.4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} {(3 x - 1)}^{2} + C {(3 x - 1)}^{2}$

Paso 8.4.2.1.2

Cancela el factor común de ${(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}$ .

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Paso 8.4.2.1.2.1

Factoriza ${(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}$ de ${(3 x - 1)}^{2}$ .

$y = \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} ({(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + C {(3 x - 1)}^{2}$

Paso 8.4.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} ({(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + C {(3 x - 1)}^{2}$

Paso 8.4.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} + C {(3 x - 1)}^{2}$

Paso 8.4.2.1.3

Reordena $2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ y $C {(3 x - 1)}^{2}$ .

$y = C {(3 x - 1)}^{2} + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 8.5

Simplifica cada término.

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Paso 8.5.1

Reescribe ${(3 x - 1)}^{2}$ como $(3 x - 1) (3 x - 1)$ .

$y = C ((3 x - 1) (3 x - 1)) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 8.5.2

Expande $(3 x - 1) (3 x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 8.5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = C (3 x (3 x - 1) - 1 (3 x - 1)) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 8.5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = C (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x - 1)) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 8.5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = C (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 8.5.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 8.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.5.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = C (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 8.5.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 8.5.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$y = C (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 8.5.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = C (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 8.5.3.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$y = C (9 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 8.5.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$y = C (9 x^{2} - 3 x - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 8.5.3.1.5

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$y = C (9 x^{2} - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 8.5.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = C (9 x^{2} - 3 x - 3 x + 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 8.5.3.2

Resta $3 x$ de $- 3 x$ .

$y = C (9 x^{2} - 6 x + 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 8.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$y = C (9 x^{2}) + C (- 6 x) + C \cdot 1 + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 8.5.5

Simplifica.

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Paso 8.5.5.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = 9 C x^{2} + C (- 6 x) + C \cdot 1 + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 8.5.5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = 9 C x^{2} - 6 C x + C \cdot 1 + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 8.5.5.3

Multiplica $C$ por $1$ .

$y = 9 C x^{2} - 6 C x + C + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$