Cálculo Ejemplos

$x d x + (y - 2) d y = 0$

Paso 1

Resta $x d x$ de ambos lados de la ecuación.

$(y - 2) d y = - x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y - 2 d y = \int - x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int y d y + \int - 2 d y = \int - x d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 2 d y = \int - x d x$

Paso 2.2.3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 2 y + C_{2} = \int - x d x$

Paso 2.2.4

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \int - x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = - \int x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Paso 2.3.3

Reescribe $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ como $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

Paso 3.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y = - \frac{x^{2}}{2} + K$

Paso 3.3

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Suma $\frac{x^{2}}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y + \frac{x^{2}}{2} = K$

Paso 3.3.2

Resta $K$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y + \frac{x^{2}}{2} - K = 0$

Paso 3.4

Multiplica por el mínimo común denominador $2$ , luego simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 2 y) + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Paso 3.4.2

Simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 2 y) + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} + 2 (- 2 y) + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$y^{2} - 4 y + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.3.1

Cancela el factor común.

$y^{2} - 4 y + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.3.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} - 4 y + x^{2} + 2 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y^{2} - 4 y + x^{2} - 2 K = 0$

Paso 3.4.3

Mueve $- 4 y$ .

$y^{2} + x^{2} - 2 K - 4 y = 0$

Paso 3.4.4

Reordena $y^{2}$ y $x^{2}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 K - 4 y = 0$

Paso 3.5

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.6

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 4$ y $c = x^{2} - 2 K$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7

Simplifica.

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Paso 3.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.7.1.1

Factoriza $- 4$ de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 K)$ .

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Paso 3.7.1.1.1

Factoriza $- 4$ de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.1.1.2

Factoriza $- 4$ de $- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 K)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.1.1.3

Factoriza $- 4$ de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} - 2 K))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.1.2

Multiplica $x^{2} - 2 K$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.1.3

Reescribe $- 4 (- 4 + x^{2} - 2 K)$ como $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K))$ .

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Paso 3.7.1.3.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 + x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.1.3.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.1.3.3

Agrega paréntesis.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.1.4

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}}{2}$

Paso 3.7.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}$

Paso 3.8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}$

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} + K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} + K)}$