Cálculo Ejemplos

$y d x + (x - x y + 2) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x - x y + 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x - x y + 2]$

Paso 2.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - x y + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x y$ con respecto a $x$ es $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y + 0$

Paso 2.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Suma $1 - y$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y$

Paso 2.5.2

Reordena los términos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y + 1$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Sustituye $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- y + 1$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = - y + 1$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$1 = - y + 1$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Sustituye $- y + 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- y + 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 4.2

Sustituye $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- y + 1 - 1}{M}$

Paso 4.3

Sustituye $y$ por $M$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Sustituye $y$ por $M$ .

$\frac{- y + 1 - 1}{y}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{- y + 0}{y}$

Paso 4.3.2.2

Suma $- y$ y $0$ .

$\frac{- y}{y}$

Paso 4.3.3

Sustituye $y$ por $M$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{- y}{y}$

Paso 4.3.3.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 1 d y}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - 1 d y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Aplica la regla de la constante.

$μ (x, y) = e^{- y + C}$

Paso 5.2

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- y} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $y d x + (x - x y + 2) d y = 0$ por el factor integrador $e^{- y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Multiplica $y$ por $e^{- y}$ .

$y e^{- y} d x + (x - x y + 2) d y = 0$

Paso 6.2

Multiplica $x - x y + 2$ por $e^{- y}$ .

$y e^{- y} d x + (x - x y + 2) e^{- y} d y = 0$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y e^{- y} d x + (x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}) d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y e^{- y} d x$

Paso 8

Integra $M (x, y) = y e^{- y}$ para obtener $f (x, y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = y e^{- y} x + C$

Paso 9

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = y e^{- y} x + g (y)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{- y} x + g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y e^{- y} x + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [y e^{- y} x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y e^{- y} x$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y e^{- y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y e^{- y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Paso 11.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = y$ y $g (y) = e^{- y}$ .

$x (y \frac{d}{d y} [e^{- y}] + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Paso 11.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = e^{y}$ y $g (y) = - y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- y$ .

$x (y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Paso 11.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x (y (e^{u} \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Paso 11.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- y$ .

$x (y (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Paso 11.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (y (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y])) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Paso 11.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Paso 11.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Paso 11.3.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x (y (e^{- y} \cdot - 1) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Paso 11.3.8

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- y}$ .

$x (y (- 1 \cdot e^{- y}) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Paso 11.3.9

Reescribe $- 1 e^{- y}$ como $- e^{- y}$ .

$x (y (- e^{- y}) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Paso 11.3.10

Multiplica $e^{- y}$ por $1$ .

$x (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$x (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + \frac{d g}{d y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Paso 11.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (y (- e^{- y})) + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Paso 11.5.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} - e^{- y} x y + e^{- y} x = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Paso 11.5.3

Reordena los factores en $\frac{d g}{d y} - e^{- y} x y + e^{- y} x$ .

$\frac{d g}{d y} - x y e^{- y} + x e^{- y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.1

Suma $x y e^{- y}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} + x e^{- y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y} + x y e^{- y}$

Paso 12.1.2

Resta $x e^{- y}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y} + x y e^{- y} - x e^{- y}$

Paso 12.1.3

Combina los términos opuestos en $x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y} + x y e^{- y} - x e^{- y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.3.1

Suma $- x y e^{- y}$ y $x y e^{- y}$ .

$\frac{d g}{d y} = x e^{- y} + 2 e^{- y} + 0 - x e^{- y}$

Paso 12.1.3.2

Suma $x e^{- y} + 2 e^{- y}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = x e^{- y} + 2 e^{- y} - x e^{- y}$

Paso 12.1.3.3

Resta $x e^{- y}$ de $x e^{- y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 e^{- y} + 0$

Paso 12.1.3.4

Suma $2 e^{- y}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 e^{- y}$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $2 e^{- y}$ y obtén $g (y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = 2 e^{- y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 e^{- y} d y$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 e^{- y} d y$

Paso 13.3

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$g (y) = 2 \int e^{- y} d y$

Paso 13.4

Sea $u = - y$ . Entonces $d u = - d y$ , de modo que $- d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.4.1

Deja $u = - y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.4.1.1

Diferencia $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Paso 13.4.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Paso 13.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 13.4.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 13.4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$g (y) = 2 \int - e^{u} d u$

Paso 13.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (y) = 2 (- \int e^{u} d u)$

Paso 13.6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$g (y) = - 2 \int e^{u} d u$

Paso 13.7

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$g (y) = - 2 (e^{u} + C)$

Paso 13.8

Simplifica.

$g (y) = - 2 e^{u} + C$

Paso 13.9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- y$ .

$g (y) = - 2 e^{- y} + C$

Paso 14

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = y e^{- y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y e^{- y} x - 2 e^{- y} + C$

Paso 15

Reordena los factores en $f (x, y) = y e^{- y} x - 2 e^{- y} + C$ .

$f (x, y) = y x e^{- y} - 2 e^{- y} + C$