Cálculo Ejemplos

$z + u (\frac{d z}{d u}) = \frac{z}{1 - z}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d z}{d u}$

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Paso 1.1.1

Resta $z$ de ambos lados de la ecuación.

$u \frac{d z}{d u} = \frac{z}{1 - z} - z$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $u \frac{d z}{d u} = \frac{z}{1 - z} - z$ por $u$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $u \frac{d z}{d u} = \frac{z}{1 - z} - z$ por $u$ .

$\frac{u \frac{d z}{d u}}{u} = \frac{\frac{z}{1 - z}}{u} + \frac{- z}{u}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $u$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{u \frac{d z}{d u}}{u} = \frac{\frac{z}{1 - z}}{u} + \frac{- z}{u}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $\frac{d z}{d u}$ por $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z}}{u} + \frac{- z}{u}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z} - z}{u}$

Paso 1.1.2.3.2

Para escribir $- z$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 - z}{1 - z}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z} - z \cdot \frac{1 - z}{1 - z}}{u}$

Paso 1.1.2.3.3

Simplifica los términos.

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Paso 1.1.2.3.3.1

Combina $- z$ y $\frac{1 - z}{1 - z}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z} + \frac{- z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

Paso 1.1.2.3.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z - z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

Paso 1.1.2.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.2.3.4.1

Factoriza $z$ de $z - z (1 - z)$ .

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Paso 1.1.2.3.4.1.1

Eleva $z$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1} - z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

Paso 1.1.2.3.4.1.2

Factoriza $z$ de $z^{1}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z \cdot 1 - z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

Paso 1.1.2.3.4.1.3

Factoriza $z$ de $- z (1 - z)$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z \cdot 1 + z (- (1 - z))}{1 - z}}{u}$

Paso 1.1.2.3.4.1.4

Factoriza $z$ de $z \cdot 1 + z (- (1 - z))$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - (1 - z))}{1 - z}}{u}$

Paso 1.1.2.3.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 \cdot 1 - - z)}{1 - z}}{u}$

Paso 1.1.2.3.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 - - z)}{1 - z}}{u}$

Paso 1.1.2.3.4.4

Multiplica $- - z$ .

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Paso 1.1.2.3.4.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 + 1 z)}{1 - z}}{u}$

Paso 1.1.2.3.4.4.2

Multiplica $z$ por $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 + z)}{1 - z}}{u}$

Paso 1.1.2.3.4.5

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (0 + z)}{1 - z}}{u}$

Paso 1.1.2.3.4.6

Suma $0$ y $z$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z \cdot z}{1 - z}}{u}$

Paso 1.1.2.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.2.3.5.1

Eleva $z$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1} z}{1 - z}}{u}$

Paso 1.1.2.3.5.2

Eleva $z$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1} z^{1}}{1 - z}}{u}$

Paso 1.1.2.3.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1 + 1}}{1 - z}}{u}$

Paso 1.1.2.3.5.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{2}}{1 - z}}{u}$

Paso 1.1.2.3.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{1 - z} \cdot \frac{1}{u}$

Paso 1.1.2.3.7

Multiplica $\frac{z^{2}}{1 - z}$ por $\frac{1}{u}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{(1 - z) u}$

Paso 1.1.2.3.8

Reordena los factores en $\frac{z^{2}}{(1 - z) u}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{u (1 - z)}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{1 - z} \cdot \frac{1}{u}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1 - z}{z^{2}}$ .

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} (\frac{z^{2}}{1 - z} \cdot \frac{1}{u})$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Multiplica $\frac{z^{2}}{1 - z}$ por $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{(1 - z) u}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $1 - z$ .

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Paso 1.4.2.1

Factoriza $1 - z$ de $(1 - z) u$ .

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{(1 - z) (u)}$

Paso 1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{(1 - z) u}$

Paso 1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{u}$

Paso 1.4.3

Cancela el factor común de $z^{2}$ .

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Paso 1.4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{u}$

Paso 1.4.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1}{u}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1 - z}{z^{2}} d z = \frac{1}{u} d u$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1 - z}{z^{2}} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Mueve $z^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (1 - z) {(z^{2})}^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(z^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 - z) z^{2 \cdot - 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int (1 - z) z^{- 2} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.2.2

Multiplica $(1 - z) z^{- 2}$ .

$\int 1 z^{- 2} - z \cdot z^{- 2} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.2.3

Simplifica.

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Paso 2.2.3.1

Multiplica $z^{- 2}$ por $1$ .

$\int z^{- 2} - z \cdot z^{- 2} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.2.3.2

Multiplica $z$ por $z^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.3.2.1

Mueve $z^{- 2}$ .

$\int z^{- 2} - (z^{- 2} z) d z = \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.2.3.2.2

Multiplica $z^{- 2}$ por $z$ .

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Paso 2.2.3.2.2.1

Eleva $z$ a la potencia de $1$ .

$\int z^{- 2} - (z^{- 2} z^{1}) d z = \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.2.3.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int z^{- 2} - z^{- 2 + 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.2.3.2.3

Suma $- 2$ y $1$ .

$\int z^{- 2} - z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.2.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int z^{- 2} d z + \int - z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.2.5

Según la regla de la potencia, la integral de $z^{- 2}$ con respecto a $z$ es $- z^{- 1}$ .

$- z^{- 1} + C_{1} + \int - z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.2.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $z$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- z^{- 1} + C_{1} - \int z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.2.7

La integral de $z^{- 1}$ con respecto a $z$ es $\ln (| z |)$ .

$- z^{- 1} + C_{1} - (\ln (| z |) + C_{2}) = \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.2.8

Simplifica.

$- \frac{1}{z} - \ln (| z |) + C_{3} = \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{z} - \ln (| z |) + C_{3} = \ln (| u |) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \frac{1}{z} - \ln (| z |) = \ln (| u |) + C$