Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 - x^{2}}{2 y^{3}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y^{3}$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{6 - x^{2}}{2 y^{3}}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y^{3}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $y^{3}$ de $2 y^{3}$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{6 - x^{2}}{y^{3} \cdot 2}$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{6 - x^{2}}{y^{3} \cdot 2}$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{6 - x^{2}}{2}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$y^{3} d y = \frac{6 - x^{2}}{2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y^{3} d y = \int \frac{6 - x^{2}}{2} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int \frac{6 - x^{2}}{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{2} \int 6 - x^{2} d x$

Paso 2.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{2} (\int 6 d x + \int - x^{2} d x)$

Paso 2.3.3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{2} (6 x + C_{2} + \int - x^{2} d x)$

Paso 2.3.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{2} (6 x + C_{2} - \int x^{2} d x)$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{2} (6 x + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}))$

Paso 2.3.6

Simplifica.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{2} (6 x - \frac{1}{3} x^{3}) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{4} y^{4} = \frac{1}{2} (6 x - \frac{1}{3} x^{3}) + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $4$ .

$4 (\frac{1}{4} y^{4}) = 4 (\frac{1}{2} (6 x - \frac{1}{3} x^{3}) + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $4 (\frac{1}{4} y^{4})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $y^{4}$ .

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\frac{1}{2} (6 x - \frac{1}{3} x^{3}) + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\frac{1}{2} (6 x - \frac{1}{3} x^{3}) + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{4} = 4 (\frac{1}{2} (6 x - \frac{1}{3} x^{3}) + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $4 (\frac{1}{2} (6 x - \frac{1}{3} x^{3}) + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Combina $x^{3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$y^{4} = 4 (\frac{1}{2} (6 x - \frac{x^{3}}{3}) + K)$

Paso 3.2.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{4} = 4 (\frac{1}{2} (6 x) + \frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{3}) + K)$

Paso 3.2.2.1.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.1.3.1

Factoriza $2$ de $6 x$ .

$y^{4} = 4 (\frac{1}{2} (2 (3 x)) + \frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{3}) + K)$

Paso 3.2.2.1.1.3.2

Cancela el factor común.

$y^{4} = 4 (\frac{1}{2} (2 (3 x)) + \frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{3}) + K)$

Paso 3.2.2.1.1.3.3

Reescribe la expresión.

$y^{4} = 4 (3 x + \frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{3}) + K)$

Paso 3.2.2.1.1.4

Multiplica $\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{3})$ .

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Paso 3.2.2.1.1.4.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{x^{3}}{3}$ .

$y^{4} = 4 (3 x - \frac{x^{3}}{2 \cdot 3} + K)$

Paso 3.2.2.1.1.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$y^{4} = 4 (3 x - \frac{x^{3}}{6} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{4} = 4 (3 x) + 4 (- \frac{x^{3}}{6}) + 4 K$

Paso 3.2.2.1.3

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1.3.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$y^{4} = 12 x + 4 (- \frac{x^{3}}{6}) + 4 K$

Paso 3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{3}}{6}$ al numerador.

$y^{4} = 12 x + 4 \frac{- x^{3}}{6} + 4 K$

Paso 3.2.2.1.3.2.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$y^{4} = 12 x + 2 (2) \frac{- x^{3}}{6} + 4 K$

Paso 3.2.2.1.3.2.3

Factoriza $2$ de $6$ .

$y^{4} = 12 x + 2 \cdot 2 \frac{- x^{3}}{2 \cdot 3} + 4 K$

Paso 3.2.2.1.3.2.4

Cancela el factor común.

$y^{4} = 12 x + 2 \cdot 2 \frac{- x^{3}}{2 \cdot 3} + 4 K$

Paso 3.2.2.1.3.2.5

Reescribe la expresión.

$y^{4} = 12 x + 2 \frac{- x^{3}}{3} + 4 K$

Paso 3.2.2.1.3.3

Combina $2$ y $\frac{- x^{3}}{3}$ .

$y^{4} = 12 x + \frac{2 (- x^{3})}{3} + 4 K$

Paso 3.2.2.1.3.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y^{4} = 12 x + \frac{- 2 x^{3}}{3} + 4 K$

Paso 3.2.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{4} = 12 x - \frac{2 x^{3}}{3} + 4 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt[4]{12 x - \frac{2 x^{3}}{3} + 4 K}$

Paso 3.4

Simplifica $\pm \sqrt[4]{12 x - \frac{2 x^{3}}{3} + 4 K}$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $2$ de $12 x - \frac{2 x^{3}}{3} + 4 K$ .

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Paso 3.4.1.1

Factoriza $2$ de $12 x$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (6 x) - \frac{2 x^{3}}{3} + 4 K}$

Paso 3.4.1.2

Factoriza $2$ de $- \frac{2 x^{3}}{3}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (6 x) + 2 (- \frac{x^{3}}{3}) + 4 K}$

Paso 3.4.1.3

Factoriza $2$ de $4 K$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (6 x) + 2 (- \frac{x^{3}}{3}) + 2 (2 K)}$

Paso 3.4.1.4

Factoriza $2$ de $2 (6 x) + 2 (- \frac{x^{3}}{3})$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (6 x - \frac{x^{3}}{3}) + 2 (2 K)}$

Paso 3.4.1.5

Factoriza $2$ de $2 (6 x - \frac{x^{3}}{3}) + 2 (2 K)$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (6 x - \frac{x^{3}}{3} + 2 K)}$

Paso 3.4.2

Para escribir $6 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (6 x \cdot \frac{3}{3} - \frac{x^{3}}{3} + 2 K)}$

Paso 3.4.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.4.3.1

Combina $6 x$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{6 x \cdot 3}{3} - \frac{x^{3}}{3} + 2 K)}$

Paso 3.4.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{6 x \cdot 3 - x^{3}}{3} + 2 K)}$

Paso 3.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.4.1

Factoriza $x$ de $6 x \cdot 3 - x^{3}$ .

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Paso 3.4.4.1.1

Factoriza $x$ de $6 x \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{x (6 \cdot 3) - x^{3}}{3} + 2 K)}$

Paso 3.4.4.1.2

Factoriza $x$ de $- x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{x (6 \cdot 3) + x (- x^{2})}{3} + 2 K)}$

Paso 3.4.4.1.3

Factoriza $x$ de $x (6 \cdot 3) + x (- x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{x (6 \cdot 3 - x^{2})}{3} + 2 K)}$

Paso 3.4.4.2

Multiplica $6$ por $3$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{x (18 - x^{2})}{3} + 2 K)}$

Paso 3.4.5

Para escribir $2 K$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{x (18 - x^{2})}{3} + 2 K \cdot \frac{3}{3})}$

Paso 3.4.6

Simplifica los términos.

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Paso 3.4.6.1

Combina $2 K$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{x (18 - x^{2})}{3} + \frac{2 K \cdot 3}{3})}$

Paso 3.4.6.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{x (18 - x^{2}) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Paso 3.4.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{x \cdot 18 + x (- x^{2}) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Paso 3.4.7.2

Mueve $18$ a la izquierda de $x$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{18 \cdot x + x (- x^{2}) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Paso 3.4.7.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{18 \cdot x - x \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Paso 3.4.7.4

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.7.4.1

Mueve $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{18 x - (x^{2} x) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Paso 3.4.7.4.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 3.4.7.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{18 x - (x^{2} x^{1}) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Paso 3.4.7.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{18 x - x^{2 + 1} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Paso 3.4.7.4.3

Suma $2$ y $1$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{18 x - x^{3} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Paso 3.4.7.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{18 x - x^{3} + 6 K}{3}}$

Paso 3.4.8

Combina $2$ y $\frac{18 x - x^{3} + 6 K}{3}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{2 (18 x - x^{3} + 6 K)}{3}}$

Paso 3.4.9

Reescribe $\sqrt[4]{\frac{2 (18 x - x^{3} + 6 K)}{3}}$ como $\frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{\sqrt[4]{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{\sqrt[4]{3}}$

Paso 3.4.10

Multiplica $\frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{\sqrt[4]{3}}$ por $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{\sqrt[4]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Paso 3.4.11

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.11.1

Multiplica $\frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{\sqrt[4]{3}}$ por $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{\sqrt[4]{3} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Paso 3.4.11.2

Eleva $\sqrt[4]{3}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Paso 3.4.11.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1 + 3}}$

Paso 3.4.11.4

Suma $1$ y $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{4}}$

Paso 3.4.11.5

Reescribe ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ como $3$ .

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Paso 3.4.11.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{3}$ como $3^{\frac{1}{4}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Paso 3.4.11.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Paso 3.4.11.5.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $4$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Paso 3.4.11.5.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.4.11.5.4.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Paso 3.4.11.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{1}}$

Paso 3.4.11.5.5

Evalúa el exponente.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3}$

Paso 3.4.12

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.12.1

Reescribe ${\sqrt[4]{3}}^{3}$ como $\sqrt[4]{3^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} \sqrt[4]{3^{3}}}{3}$

Paso 3.4.12.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} \sqrt[4]{27}}{3}$

Paso 3.4.13

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.13.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K) \cdot 27}}{3}$

Paso 3.4.13.2

Multiplica $27$ por $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + K)}}{3}$