Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = - 4 x^{3} e^{- x^{4}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = - 4 x^{3} e^{- x^{4}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int - 4 x^{3} e^{- x^{4}} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int - 4 x^{3} e^{- x^{4}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - 4 \int x^{3} e^{- x^{4}} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u_{1} = x^{2}$ . Entonces $d u_{1} = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u_{1} = x^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ como ${u_{1}}^{2}$ .

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Paso 2.3.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.3.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.3.3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.3.3.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 2.3.3.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.3.3.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.3.3.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.3.3.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.3.3.1.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.3.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $u_{1}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{u_{1}}{2} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Paso 2.3.3.3

Combina $\frac{u_{1}}{2}$ y $e^{- {u_{1}}^{2}}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Paso 2.3.5.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 2.3.5.2.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Paso 2.3.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Paso 2.3.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Paso 2.3.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Paso 2.3.5.2.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$y + C_{1} = - 2 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Paso 2.3.6

Sea $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Entonces $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.6.1

Deja $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 2.3.6.1.1

Diferencia $- {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Paso 2.3.6.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $- {u_{1}}^{2}$ con respecto a $u_{1}$ es $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Paso 2.3.6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- (2 u_{1})$

Paso 2.3.6.1.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 u_{1}$

Paso 2.3.6.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = - 2 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Paso 2.3.7.2

Combina $e^{u_{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Paso 2.3.8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - 2 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Paso 2.3.9

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Paso 2.3.10

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Paso 2.3.11

Simplifica.

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Paso 2.3.11.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.11.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.11.2.1

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.11.2.2

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.11.3

Multiplica $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ por $1$ .

$y + C_{1} = \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.12

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$y + C_{1} = e^{u_{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.13

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 2.3.13.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- {u_{1}}^{2}$ .

$y + C_{1} = e^{- {u_{1}}^{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.13.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$y + C_{1} = e^{- {(x^{2})}^{2}} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = e^{- {(x^{2})}^{2}} + K$