Cálculo Ejemplos

$(3 x + 2) d y + (y + 2) d x = 0$

Paso 1

Resta $(y + 2) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$(3 x + 2) d y = - (y + 2) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)}$ .

$\frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)} (3 x + 2) d y = \frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $3 x + 2$ .

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)} (3 x + 2) d y = \frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

Paso 3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y + 2} d y = - \frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)} (y + 2) d x$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $y + 2$ .

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Paso 3.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)}$ al numerador.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(3 x + 2) (y + 2)} (y + 2) d x$

Paso 3.3.2

Factoriza $y + 2$ de $(3 x + 2) (y + 2)$ .

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(y + 2) (3 x + 2)} (y + 2) d x$

Paso 3.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(y + 2) (3 x + 2)} (y + 2) d x$

Paso 3.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{3 x + 2} d x$

Paso 3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{y + 2} d y = - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y + 2} d y = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Sea $u_{1} = y + 2$ . Entonces $d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.2.1.1

Deja $u_{1} = y + 2$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Diferencia $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Paso 4.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 2$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Paso 4.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Paso 4.2.1.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.2.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Paso 4.2.2

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y + 2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{3 x + 2} d x$

Paso 4.3.2

Sea $u_{2} = 3 x + 2$ . Entonces $d u_{2} = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.3.2.1

Deja $u_{2} = 3 x + 2$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Diferencia $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Paso 4.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 4.3.2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 4.3.2.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 4.3.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 4.3.2.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 4.3.2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.3.2.1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 + 0$

Paso 4.3.2.1.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

Paso 4.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2}$

Paso 4.3.3

Simplifica.

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Paso 4.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 3} d u_{2}$

Paso 4.3.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{3 u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 4.3.5

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Paso 4.3.6

Simplifica.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Paso 4.3.7

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x + 2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y + 2 |) = - \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.1

Combina $\ln (| 3 x + 2 |)$ y $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y + 2 |) = - \frac{\ln (| 3 x + 2 |)}{3} + C$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y + 2 |) + \frac{\ln (| 3 x + 2 |)}{3} = C$

Paso 5.3

Para escribir $\ln (| y + 2 |)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\ln (| y + 2 |) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\ln (| 3 x + 2 |)}{3} = C$

Paso 5.4

Simplifica los términos.

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Paso 5.4.1

Combina $\ln (| y + 2 |)$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (| y + 2 |) \cdot 3}{3} + \frac{\ln (| 3 x + 2 |)}{3} = C$

Paso 5.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (| y + 2 |) \cdot 3 + \ln (| 3 x + 2 |)}{3} = C$

Paso 5.5

Mueve $3$ a la izquierda de $\ln (| y + 2 |)$ .

$\frac{3 \ln (| y + 2 |) + \ln (| 3 x + 2 |)}{3} = C$

Paso 5.6

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.6.1

Simplifica $\frac{3 \ln (| y + 2 |) + \ln (| 3 x + 2 |)}{3}$ .

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Paso 5.6.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.6.1.1.1

Simplifica $3 \ln (| y + 2 |)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\frac{\ln ({| y + 2 |}^{3}) + \ln (| 3 x + 2 |)}{3} = C$

Paso 5.6.1.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln ({| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |)}{3} = C$

Paso 5.6.1.2

Reescribe $\frac{\ln ({| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |)}{3}$ como $\frac{1}{3} \ln ({| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |)$ .

$\frac{1}{3} \ln ({| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |) = C$

Paso 5.6.1.3

Simplifica $\frac{1}{3} \ln ({| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |)$ al mover $\frac{1}{3}$ dentro del algoritmo.

$\ln ({({| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |)}^{\frac{1}{3}}) = C$

Paso 5.6.1.4

Aplica la regla del producto a ${| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |$ .

$\ln ({({| y + 2 |}^{3})}^{\frac{1}{3}} {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}) = C$

Paso 5.6.1.5

Multiplica los exponentes en ${({| y + 2 |}^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 5.6.1.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ({| y + 2 |}^{3 (\frac{1}{3})} {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}) = C$

Paso 5.6.1.5.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.6.1.5.2.1

Cancela el factor común.

$\ln ({| y + 2 |}^{3 (\frac{1}{3})} {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}) = C$

Paso 5.6.1.5.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln ({| y + 2 |}^{1} {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}) = C$

Paso 5.6.1.6

Simplifica.

$\ln (| y + 2 | {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}) = C$

Paso 5.6.1.7

Reordena los factores en $\ln (| y + 2 | {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}})$ .

$\ln ({| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 |) = C$

Paso 5.7

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln ({| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 |)} = e^{C}$

Paso 5.8

Reescribe $\ln ({| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 |) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 |$

Paso 5.9

Resuelve $y$

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Paso 5.9.1

Reescribe la ecuación como ${| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 | = e^{C}$ .

${| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 | = e^{C}$

Paso 5.9.2

Divide cada término en ${| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 | = e^{C}$ por ${| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}$ y simplifica.

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Paso 5.9.2.1

Divide cada término en ${| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 | = e^{C}$ por ${| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 |}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}} = \frac{e^{C}}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.9.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.9.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 |}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}} = \frac{e^{C}}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.9.2.2.2

Divide $| y + 2 |$ por $1$ .

$| y + 2 | = \frac{e^{C}}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.9.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y + 2 = \pm \frac{e^{C}}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5.9.4

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \pm \frac{e^{C}}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}} - 2$

Paso 6

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 6.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm \frac{C}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}} - 2$

Paso 6.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C \frac{1}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}} - 2$