Cálculo Ejemplos

$(1 + x y) d x - (1 + x^{2}) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 1 + x y$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + x y]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x y]$

Paso 1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Paso 1.3.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x y$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \cdot 1$

Paso 1.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x$

Paso 1.4

Suma $0$ y $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = - (1 + x^{2})$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (1 + x^{2})]$

Paso 2.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- (1 + x^{2})$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x)$

Paso 2.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 2 x$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = - 2 x$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$x = - 2 x$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 4.2

Sustituye $- 2 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{x - (- 2 x)}{N}$

Paso 4.3

Sustituye $- (1 + x^{2})$ por $N$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $- (1 + x^{2})$ por $N$ .

$\frac{x - (- 2 x)}{- (1 + x^{2})}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $x$ de $x - (- 2 x)$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{1} - (- 2 x)}{- (1 + x^{2})}$

Paso 4.3.2.1.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - (- 2 x)}{- (1 + x^{2})}$

Paso 4.3.2.1.3

Factoriza $x$ de $- (- 2 x)$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- (- 2))}{- (1 + x^{2})}$

Paso 4.3.2.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x (- (- 2))$ .

$\frac{x (1 - (- 2))}{- (1 + x^{2})}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{x (1 + 2)}{- (1 + x^{2})}$

Paso 4.3.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{x \cdot 3}{- (1 + x^{2})}$

Paso 4.3.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{3 \cdot x}{- (1 + x^{2})}$

Paso 4.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 x}{1 + x^{2}}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3 x}{1 + x^{2}} d x}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{3 x}{1 + x^{2}} d x}$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3 x}{1 + x^{2}} d x}$

Paso 5.2

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x)}$

Paso 5.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x}$

Paso 5.4

Sea $u = 1 + x^{2}$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.4.1

Deja $u = 1 + x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.4.1.1

Diferencia $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 5.4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 5.4.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 5.4.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Paso 5.4.1.5

Suma $0$ y $2 x$ .

$2 x$

Paso 5.4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Paso 5.5

Simplifica.

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Paso 5.5.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Paso 5.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Paso 5.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Paso 5.7

Simplifica.

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Paso 5.7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 3$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 5.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 5.8

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} (\ln (| u |) + C)}$

Paso 5.9

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \ln (| u |)} + C$

Paso 5.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x^{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \ln (| 1 + x^{2} |)} + C$

Paso 5.11

Simplifica cada término.

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Paso 5.11.1

Multiplica $- \frac{3}{2} \ln (| 1 + x^{2} |)$ .

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Paso 5.11.1.1

Reordena $\ln (| 1 + x^{2} |)$ y $\frac{3}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{3}{2} \ln (| 1 + x^{2} |))} + C$

Paso 5.11.1.2

Simplifica $\frac{3}{2} \ln (| 1 + x^{2} |)$ al mover $\frac{3}{2}$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})} + C$

Paso 5.11.2

Simplifica $- \ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})$ al mover $- 1$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1})} + C$

Paso 5.11.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} + C$

Paso 5.11.4

Multiplica los exponentes en ${({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 5.11.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} + C$

Paso 5.11.4.2

Multiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 5.11.4.2.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $- 1$ .

$μ (x, y) = {| 1 + x^{2} |}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} + C$

Paso 5.11.4.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = {| 1 + x^{2} |}^{\frac{- 3}{2}} + C$

Paso 5.11.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$μ (x, y) = {| 1 + x^{2} |}^{- \frac{3}{2}} + C$

Paso 5.11.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}}} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(1 + x y) d x - (1 + x^{2}) d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $1 + x y$ por $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$(1 + x y) \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x^{2}) d y = 0$

Paso 6.2

Multiplica $1 + x y$ por $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x^{2}) d y = 0$

Paso 6.3

Multiplica $- (1 + x^{2})$ por $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x^{2}) \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + (- 1 \cdot 1 - x^{2}) \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Paso 6.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + (- 1 - x^{2}) \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Paso 6.6

Multiplica $- 1 - x^{2}$ por $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{- 1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Paso 6.7

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{- 1 (1) - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Paso 6.8

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{- 1 (1) - (x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Paso 6.9

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (x^{2})$ .

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{- 1 (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Paso 6.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x - \frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y$

Paso 8

Integra $N (x, y) = - \frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = - \frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} y + C$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Combina $y$ y $\frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Paso 8.2.2

Mueve ${(1 + x^{2})}^{1}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} {(1 + x^{2})}^{- 1}} + C$

Paso 8.2.3

Multiplica ${(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ por ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.2.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1}} + C$

Paso 8.2.3.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} + C$

Paso 8.2.3.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} + C$

Paso 8.2.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}} + C$

Paso 8.2.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}}} + C$

Paso 8.2.3.5.2

Resta $2$ de $3$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 9

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + g (x)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Paso 11.3.1

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3.2

Reescribe $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ como ${({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$- y \frac{d}{d x} [{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 11.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- y (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Paso 11.3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $1 + x^{2}$ .

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 + x^{2}$ .

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3.8

Multiplica los exponentes en ${({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.8.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3.8.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.8.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3.8.2.2

Cancela el factor común.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3.8.2.3

Reescribe la expresión.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3.9

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3.10

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3.12

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.12.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3.12.2

Resta $2$ de $1$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3.14

Suma $0$ y $2 x$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3.15

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3.16

Combina $2$ y $\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3.17

Combina $\frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $x$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3.18

Mueve ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3.19

Cancela el factor común.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3.20

Reescribe la expresión.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3.21

Combina $\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$- y (- \frac{x {(1 + x^{2})}^{- 1}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3.22

Mueve ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3.23

Multiplica ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1 + x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 11.3.23.1

Multiplica ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1 + x^{2}$ .

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Paso 11.3.23.1.1

Eleva $1 + x^{2}$ a la potencia de $1$ .

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{1}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3.23.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3.23.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3.23.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3.23.4

Suma $1$ y $2$ .

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3.24

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 y \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3.25

Multiplica $y$ por $1$ .

$y \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.3.26

Combina $y$ y $\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{y x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d g}{d x} = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 12.1

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 12.1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 12.1.1.1

Resta $\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Paso 12.1.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x - (1 + x y)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Paso 12.1.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x - 1 \cdot 1 - (x y)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Paso 12.1.1.3.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x - 1 - x y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Paso 12.1.1.4

Combina los términos opuestos en $y x - 1 - x y$ .

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Paso 12.1.1.4.1

Reordena los factores en los términos $y x$ y $- x y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x y - 1 - x y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Paso 12.1.1.4.2

Resta $x y$ de $x y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{0 - 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Paso 12.1.1.4.3

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Paso 12.1.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Paso 12.1.2

Suma $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Paso 13.3

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} + 1)}^{3}}} d x$

Paso 13.4

Sea $x = \tan (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ es positiva.

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Paso 13.5

Simplifica $\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}$ .

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Paso 13.5.1

Aplica la identidad pitagórica.

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t))}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Paso 13.5.2

Multiplica los exponentes en ${(\sec^{2} (t))}^{3}$ .

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Paso 13.5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{\sec (t)}^{2 \cdot 3}}} \sec^{2} (t) d t$

Paso 13.5.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{\sec^{6} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Paso 13.5.3

Reescribe $\sec^{6} (t)$ como ${(\sec^{3} (t))}^{2}$ .

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{3} (t))}^{2}}} \sec^{2} (t) d t$

Paso 13.5.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$g (x) = \int \frac{1}{\sec^{3} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Paso 13.6

Cancela el factor común de $\sec^{2} (t)$ .

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Paso 13.6.1

Factoriza $\sec^{2} (t)$ de $\sec^{3} (t)$ .

$g (x) = \int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Paso 13.6.2

Cancela el factor común.

$g (x) = \int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Paso 13.6.3

Reescribe la expresión.

$g (x) = \int \frac{1}{\sec (t)} d t$

Paso 13.7

Simplifica.

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Paso 13.7.1

Reescribe $\sec (t)$ en términos de senos y cosenos.

$g (x) = \int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Paso 13.7.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$g (x) = \int 1 \cos (t) d t$

Paso 13.7.3

Multiplica $\cos (t)$ por $1$ .

$g (x) = \int \cos (t) d t$

Paso 13.8

La integral de $\cos (t)$ con respecto a $t$ es $\sin (t)$ .

$g (x) = \sin (t) + C$

Paso 13.9

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arctan (x)$ .

$g (x) = \sin (\arctan (x)) + C$

Paso 14

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \sin (\arctan (x)) + C$

Paso 15

Simplifica $f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \sin (\arctan (x)) + C$ .

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Paso 15.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.1.1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(1, x)$ , $(1, 0)$ y el origen. Entonces $\arctan (x)$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(1, x)$ . Por lo tanto, $\sin (\arctan (x))$ es $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} + C$

Paso 15.1.2

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}} + C$

Paso 15.1.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 15.1.3.1

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}} + C$

Paso 15.1.3.2

Eleva $\sqrt{1 + x^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}} + C$

Paso 15.1.3.3

Eleva $\sqrt{1 + x^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}} + C$

Paso 15.1.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}} + C$

Paso 15.1.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}} + C$

Paso 15.1.3.6

Reescribe ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ como $1 + x^{2}$ .

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Paso 15.1.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + C$

Paso 15.1.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + C$

Paso 15.1.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + C$

Paso 15.1.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 15.1.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + C$

Paso 15.1.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}} + C$

Paso 15.1.3.6.5

Simplifica.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + C$

Paso 15.2

Para escribir $- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + C$

Paso 15.3

Para escribir $\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 15.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 15.4.1

Multiplica $\frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 15.4.2

Multiplica ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1 + x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 15.4.2.1

Multiplica ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1 + x^{2}$ .

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Paso 15.4.2.1.1

Eleva $1 + x^{2}$ a la potencia de $1$ .

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{1}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 15.4.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 15.4.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 15.4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 15.4.2.4

Suma $1$ y $2$ .

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 15.4.3

Multiplica $\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ por $\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 15.4.4

Multiplica $1 + x^{2}$ por ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 15.4.4.1

Multiplica $1 + x^{2}$ por ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 15.4.4.1.1

Eleva $1 + x^{2}$ a la potencia de $1$ .

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 15.4.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1 + \frac{1}{2}}} + C$

Paso 15.4.4.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} + C$

Paso 15.4.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2 + 1}{2}}} + C$

Paso 15.4.4.4

Suma $2$ y $1$ .

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Paso 15.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (x, y) = \frac{- y (1 + x^{2}) + x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Paso 15.6

Simplifica el numerador.

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Paso 15.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{- y (1 + x^{2}) + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Paso 15.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = \frac{- y \cdot 1 - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Paso 15.6.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Paso 15.6.4

Multiplica ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 15.6.4.1

Mueve ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Paso 15.6.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Paso 15.6.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Paso 15.6.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Paso 15.6.4.5

Divide $2$ por $2$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{1}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Paso 15.6.5

Simplifica $x {(1 + x^{2})}^{1}$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Paso 15.6.6

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x \cdot 1 + x \cdot x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Paso 15.6.7

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x + x \cdot x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Paso 15.6.8

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 15.6.8.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 15.6.8.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x + x^{1} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Paso 15.6.8.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x + x^{1 + 2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Paso 15.6.8.2

Suma $1$ y $2$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x + x^{3}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Paso 15.6.9

Reescribe $- y - y x^{2} + x + x^{3}$ en forma factorizada.

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Paso 15.6.9.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 15.6.9.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$f (x, y) = \frac{(- y - y x^{2}) + x + x^{3}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Paso 15.6.9.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$f (x, y) = \frac{y \cdot (- 1 - x^{2}) - x (- 1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Paso 15.6.9.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 1 - x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{(- 1 - x^{2}) (y - x)}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$