Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = - 2 x^{3} y$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- 2 x^{3} y)$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - 2 \frac{1}{y} (x^{3} y)$

Paso 1.2.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 2}{y} (x^{3} y)$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.2.3.1

Factoriza $y$ de $x^{3} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 2}{y} (y x^{3})$

Paso 1.2.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 2}{y} (y x^{3})$

Paso 1.2.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - 2 x^{3}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = - 2 x^{3} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - 2 x^{3} d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 2 x^{3} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int x^{3} d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $- 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ como $- 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{4} x^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $4$ .

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Paso 2.3.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 (- 1)}{4} x^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 1}{2} x^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{4} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{4} + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{2} x^{4} + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{4} + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2} x^{4} + C} = | y |$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| y | = e^{- \frac{1}{2} x^{4} + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{1}{2} x^{4} + C}$

Paso 3.3.2

Combina $x^{4}$ y $\frac{1}{2}$ .

$| y | = e^{- \frac{x^{4}}{2} + C}$

Paso 3.3.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{x^{4}}{2} + C}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{- \frac{x^{4}}{2} + C}$ como $e^{- \frac{x^{4}}{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{x^{4}}{2}} e^{C}$

Paso 4.2

Reordena $e^{- \frac{x^{4}}{2}}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{x^{4}}{2}}$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{- \frac{x^{4}}{2}}$