Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (e^{x^{2}} + 2)}{6 y^{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x (e^{x^{2}} + 2)}{6 y^{2}}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $y^{2}$ de $6 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x (e^{x^{2}} + 2)}{y^{2} \cdot 6}$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x (e^{x^{2}} + 2)}{y^{2} \cdot 6}$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{x (e^{x^{2}} + 2)}{6}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$y^{2} d y = \frac{x (e^{x^{2}} + 2)}{6} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y^{2} d y = \int \frac{x (e^{x^{2}} + 2)}{6} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{x (e^{x^{2}} + 2)}{6} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{6} \int x (e^{x^{2}} + 2) d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = x^{2}$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{6} \int (e^{u} + 2) \frac{1}{2} d u$

Paso 2.3.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{6} (\frac{1}{2} \int e^{u} + 2 d u)$

Paso 2.3.4

Simplifica.

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Paso 2.3.4.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2 \cdot 6} \int e^{u} + 2 d u$

Paso 2.3.4.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{12} \int e^{u} + 2 d u$

Paso 2.3.5

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{12} (\int e^{u} d u + \int 2 d u)$

Paso 2.3.6

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{12} (e^{u} + C_{2} + \int 2 d u)$

Paso 2.3.7

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{12} (e^{u} + C_{2} + 2 u + C_{3})$

Paso 2.3.8

Simplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{12} (e^{u} + 2 u) + C_{4}$

Paso 2.3.9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{12} (e^{x^{2}} + 2 x^{2}) + C_{4}$

Paso 2.3.10

Simplifica.

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Paso 2.3.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{12} e^{x^{2}} + \frac{1}{12} (2 x^{2}) + C_{4}$

Paso 2.3.10.2

Combina $\frac{1}{12}$ y $e^{x^{2}}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{e^{x^{2}}}{12} + \frac{1}{12} (2 x^{2}) + C_{4}$

Paso 2.3.10.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.10.3.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{e^{x^{2}}}{12} + \frac{1}{2 (6)} (2 x^{2}) + C_{4}$

Paso 2.3.10.3.2

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{e^{x^{2}}}{12} + \frac{1}{2 (6)} (2 (x^{2})) + C_{4}$

Paso 2.3.10.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{e^{x^{2}}}{12} + \frac{1}{2 \cdot 6} (2 x^{2}) + C_{4}$

Paso 2.3.10.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{e^{x^{2}}}{12} + \frac{1}{6} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.10.4

Combina $\frac{1}{6}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{e^{x^{2}}}{12} + \frac{x^{2}}{6} + C_{4}$

Paso 2.3.11

Reordena los términos.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{12} e^{x^{2}} + \frac{1}{6} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{12} e^{x^{2}} + \frac{1}{6} x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{12} e^{x^{2}} + \frac{1}{6} x^{2} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{12} e^{x^{2}} + \frac{1}{6} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{12} e^{x^{2}} + \frac{1}{6} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{12} e^{x^{2}} + \frac{1}{6} x^{2} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $3 (\frac{1}{12} e^{x^{2}} + \frac{1}{6} x^{2} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{12}$ y $e^{x^{2}}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{e^{x^{2}}}{12} + \frac{1}{6} x^{2} + K)$

Paso 3.2.2.1.1.2

Combina $\frac{1}{6}$ y $x^{2}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{e^{x^{2}}}{12} + \frac{x^{2}}{6} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} = 3 \frac{e^{x^{2}}}{12} + 3 \frac{x^{2}}{6} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1.3.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$y^{3} = 3 \frac{e^{x^{2}}}{3 (4)} + 3 \frac{x^{2}}{6} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3.1.2

Cancela el factor común.

$y^{3} = 3 \frac{e^{x^{2}}}{3 \cdot 4} + 3 \frac{x^{2}}{6} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3.1.3

Reescribe la expresión.

$y^{3} = \frac{e^{x^{2}}}{4} + 3 \frac{x^{2}}{6} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.2.1.3.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$y^{3} = \frac{e^{x^{2}}}{4} + 3 \frac{x^{2}}{3 (2)} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y^{3} = \frac{e^{x^{2}}}{4} + 3 \frac{x^{2}}{3 \cdot 2} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{3} = \frac{e^{x^{2}}}{4} + \frac{x^{2}}{2} + 3 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}}}{4} + \frac{x^{2}}{2} + 3 K}$

Paso 3.4

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}}}{4} + \frac{x^{2}}{2} + 3 K}$ .

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Paso 3.4.1

Para escribir $\frac{x^{2}}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}}}{4} + \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} + 3 K}$

Paso 3.4.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.4.2.1

Multiplica $\frac{x^{2}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}}}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + 3 K}$

Paso 3.4.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}}}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2}{4} + 3 K}$

Paso 3.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}} + x^{2} \cdot 2}{4} + 3 K}$

Paso 3.4.4

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}} + 2 x^{2}}{4} + 3 K}$

Paso 3.4.5

Para escribir $3 K$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}} + 2 x^{2}}{4} + 3 K \cdot \frac{4}{4}}$

Paso 3.4.6

Combina $3 K$ y $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}} + 2 x^{2}}{4} + \frac{3 K \cdot 4}{4}}$

Paso 3.4.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 3 K \cdot 4}{4}}$

Paso 3.4.8

Multiplica $4$ por $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K}{4}}$

Paso 3.4.9

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K}{4}}$ como $\frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K}}{\sqrt[3]{4}}$

Paso 3.4.10

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K}}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Paso 3.4.11

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.11.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K}}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Paso 3.4.11.2

Eleva $\sqrt[3]{4}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Paso 3.4.11.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Paso 3.4.11.4

Suma $1$ y $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Paso 3.4.11.5

Reescribe ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ como $4$ .

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Paso 3.4.11.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{4}$ como $4^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 3.4.11.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 3.4.11.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.4.11.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.11.5.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.4.11.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Paso 3.4.11.5.5

Evalúa el exponente.

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Paso 3.4.12

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.12.1

Reescribe ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ como $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Paso 3.4.12.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} \sqrt[3]{16}}{4}$

Paso 3.4.12.3

Reescribe $16$ como $2^{3} \cdot 2$ .

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Paso 3.4.12.3.1

Factoriza $8$ de $16$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Paso 3.4.12.3.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Paso 3.4.12.4

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{\sqrt[3]{e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Paso 3.4.12.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K) \cdot 2}}{4}$

Paso 3.4.13

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.4.13.1

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 3.4.13.1.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt[3]{(e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K) \cdot 2}$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K) \cdot 2}}{4}$

Paso 3.4.13.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.13.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.4.13.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.4.13.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sqrt[3]{(e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K) \cdot 2}}{2}$

Paso 3.4.13.2

Reordena los factores en $\frac{\sqrt[3]{(e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{2 (e^{x^{2}} + 2 x^{2} + 12 K)}}{2}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\sqrt[3]{2 (e^{x^{2}} + 2 x^{2} + K)}}{2}$