Cálculo Ejemplos

$3 x^{2} (\ln (y)) d x + \frac{x^{2}}{y} d y = 0$

Paso 1

Resta $3 x^{2} (\ln (y)) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{x^{2}}{y} d y = - 3 x^{2} \ln (y) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x^{2} \ln (y)}$ .

$\frac{1}{x^{2} \ln (y)} \cdot \frac{x^{2}}{y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combinar.

$\frac{1 x^{2}}{x^{2} \ln (y) y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 x^{2}}{x^{2} \ln (y) y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Paso 3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\ln (y) y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Paso 3.3

Reordena los factores en $\frac{1}{\ln (y) y}$ .

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Paso 3.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = - 3 \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (x^{2} \ln (y)) d x$

Paso 3.5

Combina $- 3$ y $\frac{1}{x^{2} \ln (y)}$ .

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 3}{x^{2} \ln (y)} (x^{2} \ln (y)) d x$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $x^{2} \ln (y)$ .

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Paso 3.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 3}{x^{2} \ln (y)} (x^{2} \ln (y)) d x$

Paso 3.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = - 3 d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y \ln (y)} d y = \int - 3 d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Sea $u = \ln (y)$ . Entonces $d u = \frac{1}{y} d y$ , de modo que $y d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.2.1.1

Deja $u = \ln (y)$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Diferencia $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Paso 4.2.1.1.2

La derivada de $\ln (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Paso 4.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - 3 d x$

Paso 4.2.2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - 3 d x$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (y)$ .

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = \int - 3 d x$

Paso 4.3

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = - 3 x + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| \ln (y) |) = - 3 x + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| \ln (y) |)} = e^{- 3 x + C}$

Paso 5.2

Reescribe $\ln (| \ln (y) |) = - 3 x + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 3 x + C} = | \ln (y) |$

Paso 5.3

Resuelve $y$

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Paso 5.3.1

Reescribe la ecuación como $| \ln (y) | = e^{- 3 x + C}$ .

$| \ln (y) | = e^{- 3 x + C}$

Paso 5.3.2

Resuelve $y$

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Paso 5.3.2.1

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$\ln (y) = \pm e^{- 3 x + C}$

Paso 5.3.2.2

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (y)} = e^{\pm e^{- 3 x + C}}$

Paso 5.3.2.3

Reescribe $\ln (y) = \pm e^{- 3 x + C}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\pm e^{- 3 x + C}} = y$

Paso 5.3.2.4

Reescribe la ecuación como $y = e^{\pm e^{- 3 x + C}}$ .

$y = e^{\pm e^{- 3 x + C}}$

Paso 6

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 6.1

Reescribe $e^{- 3 x + C}$ como $e^{- 3 x} e^{C}$ .

$y = e^{\pm e^{- 3 x} e^{C}}$

Paso 6.2

Reordena $e^{- 3 x}$ y $e^{C}$ .

$y = e^{\pm e^{C} e^{- 3 x}}$

Paso 6.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = e^{C e^{- 3 x}}$