Cálculo Ejemplos

$(t^{2} - y t^{2}) \frac{d y}{d t} + y^{2} + t \cdot y^{2} = 0$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d t}$

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Paso 1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$t^{2} \frac{d y}{d t} - y t^{2} \frac{d y}{d t} + y^{2} + t y^{2} = 0$

Paso 1.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d y}{d t}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.2.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$t^{2} \frac{d y}{d t} - y t^{2} \frac{d y}{d t} + t y^{2} = - y^{2}$

Paso 1.1.2.2

Resta $t y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$t^{2} \frac{d y}{d t} - y t^{2} \frac{d y}{d t} = - y^{2} - t y^{2}$

Paso 1.1.3

Factoriza $t^{2} \frac{d y}{d t}$ de $t^{2} \frac{d y}{d t} - y t^{2} \frac{d y}{d t}$ .

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Paso 1.1.3.1

Factoriza $t^{2} \frac{d y}{d t}$ de $t^{2} \frac{d y}{d t}$ .

$t^{2} \frac{d y}{d t} \cdot 1 - y t^{2} \frac{d y}{d t} = - y^{2} - t y^{2}$

Paso 1.1.3.2

Factoriza $t^{2} \frac{d y}{d t}$ de $- y t^{2} \frac{d y}{d t}$ .

$t^{2} \frac{d y}{d t} \cdot 1 + t^{2} \frac{d y}{d t} (- y) = - y^{2} - t y^{2}$

Paso 1.1.3.3

Factoriza $t^{2} \frac{d y}{d t}$ de $t^{2} \frac{d y}{d t} \cdot 1 + t^{2} \frac{d y}{d t} (- y)$ .

$t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y) = - y^{2} - t y^{2}$

Paso 1.1.4

Divide cada término en $t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y) = - y^{2} - t y^{2}$ por $t^{2} (1 - y)$ y simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Divide cada término en $t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y) = - y^{2} - t y^{2}$ por $t^{2} (1 - y)$ .

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y)}{t^{2} (1 - y)} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

Paso 1.1.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.4.2.1

Cancela el factor común de $t^{2}$ .

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Paso 1.1.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y)}{t^{2} (1 - y)} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

Paso 1.1.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d y}{d t} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

Paso 1.1.4.2.2

Cancela el factor común de $1 - y$ .

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Paso 1.1.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d t} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

Paso 1.1.4.2.2.2

Divide $\frac{d y}{d t}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

Paso 1.1.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

Paso 1.1.4.3.1.2

Cancela el factor común de $t$ y $t^{2}$ .

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Paso 1.1.4.3.1.2.1

Factoriza $t$ de $- t y^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{t (- 1 y^{2})}{t^{2} (1 - y)}$

Paso 1.1.4.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.4.3.1.2.2.1

Factoriza $t$ de $t^{2} (1 - y)$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{t (- 1 y^{2})}{t (t (1 - y))}$

Paso 1.1.4.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{t (- 1 y^{2})}{t (t (1 - y))}$

Paso 1.1.4.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- 1 y^{2}}{t (1 - y)}$

Paso 1.1.4.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} - \frac{y^{2}}{t (1 - y)}$

Paso 1.2

Factoriza.

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Paso 1.2.1

Factoriza $- 1$ de $- \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} - \frac{y^{2}}{t (1 - y)}$ .

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Paso 1.2.1.1

Reordena la expresión.

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Paso 1.2.1.1.1

Reordena $1$ y $- y$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} - \frac{y^{2}}{t (1 - y)}$

Paso 1.2.1.1.2

Reordena $1$ y $- y$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} - \frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$

Paso 1.2.1.2

Factoriza $- 1$ de $- \frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)}$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)}) - \frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$

Paso 1.2.1.3

Factoriza $- 1$ de $- \frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)}) - (\frac{y^{2}}{t (- y + 1)})$

Paso 1.2.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)}) - (\frac{y^{2}}{t (- y + 1)})$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2}}{t (- y + 1)})$

Paso 1.2.2

Para escribir $\frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2}}{t (- y + 1)} \cdot \frac{t}{t})$

Paso 1.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(- y + 1) t^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.2.3.1

Multiplica $\frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$ por $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t (- y + 1) t})$

Paso 1.2.3.2

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t^{1} t (- y + 1)})$

Paso 1.2.3.3

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t^{1} t^{1} (- y + 1)})$

Paso 1.2.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t^{1 + 1} (- y + 1)})$

Paso 1.2.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t^{2} (- y + 1)})$

Paso 1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} + y^{2} t}{t^{2} (- y + 1)}$

Paso 1.2.5

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} + y^{2} t$ .

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Paso 1.2.5.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} t}{t^{2} (- y + 1)}$

Paso 1.2.5.2

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} t$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (t)}{t^{2} (- y + 1)}$

Paso 1.2.5.3

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (t)$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} \cdot (1 + t)}{t^{2} (- y + 1)}$

Paso 1.2.5.4

Multiplica $y^{2}$ por $1 + t$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} (1 + t)}{t^{2} (- y + 1)}$

Paso 1.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{- y + 1} \cdot \frac{1 + t}{t^{2}}$

Paso 1.4

Multiplica ambos lados por $\frac{- y + 1}{y^{2}}$ .

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- y + 1}{y^{2}} (- \frac{y^{2}}{- y + 1} \cdot \frac{1 + t}{t^{2}})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = - \frac{- y + 1}{y^{2}} (\frac{y^{2}}{- y + 1} \cdot \frac{1 + t}{t^{2}})$

Paso 1.5.2

Multiplica $\frac{y^{2}}{- y + 1}$ por $\frac{1 + t}{t^{2}}$ .

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = - \frac{- y + 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) t^{2}}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de $- y + 1$ .

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Paso 1.5.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{- y + 1}{y^{2}}$ al numerador.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- (- y + 1)}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) t^{2}}$

Paso 1.5.3.2

Factoriza $- y + 1$ de $- (- y + 1)$ .

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{(- y + 1) \cdot - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) t^{2}}$

Paso 1.5.3.3

Factoriza $- y + 1$ de $(- y + 1) t^{2}$ .

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{(- y + 1) \cdot - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) (t^{2})}$

Paso 1.5.3.4

Cancela el factor común.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{(- y + 1) \cdot - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) t^{2}}$

Paso 1.5.3.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{t^{2}}$

Paso 1.5.4

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{t^{2}}$

Paso 1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = - \frac{1 + t}{t^{2}}$

Paso 1.6

Reescribe la ecuación.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} d y = - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{- y + 1}{y^{2}} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Mueve $y^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (- y + 1) {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (- y + 1) y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int (- y + 1) y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.2

Multiplica $(- y + 1) y^{- 2}$ .

$\int - y \cdot y^{- 2} + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.3

Simplifica.

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Paso 2.2.3.1

Multiplica $y$ por $y^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.3.1.1

Mueve $y^{- 2}$ .

$\int - (y^{- 2} y) + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.3.1.2

Multiplica $y^{- 2}$ por $y$ .

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Paso 2.2.3.1.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\int - (y^{- 2} y^{1}) + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int - y^{- 2 + 1} + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.3.1.3

Suma $- 2$ y $1$ .

$\int - y^{- 1} + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.3.2

Multiplica $y^{- 2}$ por $1$ .

$\int - y^{- 1} + y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - y^{- 1} d y + \int y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int y^{- 1} d y + \int y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.6

La integral de $y^{- 1}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) + \int y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.7

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 2}$ con respecto a $y$ es $- y^{- 1}$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) - y^{- 1} + C_{2} = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.8

Simplifica.

$- \ln (| y |) - \frac{1}{y} + C_{3} = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.9

Reordena los términos.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Paso 2.3.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.2.1

Mueve $t^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int (1 + t) {(t^{2})}^{- 1} d t$

Paso 2.3.2.2

Multiplica los exponentes en ${(t^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int (1 + t) t^{2 \cdot - 1} d t$

Paso 2.3.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int (1 + t) t^{- 2} d t$

Paso 2.3.3

Multiplica $(1 + t) t^{- 2}$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int 1 t^{- 2} + t \cdot t^{- 2} d t$

Paso 2.3.4

Simplifica.

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Paso 2.3.4.1

Multiplica $t^{- 2}$ por $1$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int t^{- 2} + t \cdot t^{- 2} d t$

Paso 2.3.4.2

Multiplica $t$ por $t^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.4.2.1

Multiplica $t$ por $t^{- 2}$ .

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Paso 2.3.4.2.1.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int t^{- 2} + t^{1} t^{- 2} d t$

Paso 2.3.4.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int t^{- 2} + t^{1 - 2} d t$

Paso 2.3.4.2.2

Resta $2$ de $1$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int t^{- 2} + t^{- 1} d t$

Paso 2.3.5

Divide la única integral en varias integrales.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - (\int t^{- 2} d t + \int t^{- 1} d t)$

Paso 2.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{- 2}$ con respecto a $t$ es $- t^{- 1}$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - (- t^{- 1} + C_{4} + \int t^{- 1} d t)$

Paso 2.3.7

La integral de $t^{- 1}$ con respecto a $t$ es $\ln (| t |)$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - (- t^{- 1} + C_{4} + \ln (| t |) + C_{5})$

Paso 2.3.8

Simplifica.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - (- \frac{1}{t} + \ln (| t |)) + C_{6}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) = - (- \frac{1}{t} + \ln (| t |)) + C$