Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{a x + b}{c x + d}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{a x + b}{c x + d} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{a x + b}{c x + d} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{a x + b}{c x + d} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u = c x + d$ . Entonces $d u = c d x$ , de modo que $\frac{1}{c} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u = c x + d$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $c x + d$ .

$\frac{d}{d x} [c x + d]$

Paso 2.3.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $c x + d$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$ .

$\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Paso 2.3.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [c x]$ .

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Paso 2.3.1.1.3.1

Como $c$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $c x$ con respecto a $x$ es $c \frac{d}{d x} [x]$ .

$c \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [d]$

Paso 2.3.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$c \cdot 1 + \frac{d}{d x} [d]$

Paso 2.3.1.1.3.3

Multiplica $c$ por $1$ .

$c + \frac{d}{d x} [d]$

Paso 2.3.1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1.1.4.1

Como $d$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $d$ con respecto a $x$ es $0$ .

$c + 0$

Paso 2.3.1.1.4.2

Suma $c$ y $0$ .

$c$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u} \cdot \frac{1}{c} d u$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u}$ por $\frac{1}{c}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u c} d u$

Paso 2.3.3

Dado que $\frac{1}{c}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{c}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u} d u$

Paso 2.3.4

Divide la fracción en varias fracciones.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c})}{u} + \frac{b}{u} d u$

Paso 2.3.5

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c})}{u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Paso 2.3.6

Dado que $a$ es constante con respecto a $u$ , mueve $a$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{\frac{u}{c} - \frac{d}{c}}{u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Multiplica $\frac{\frac{u}{c} - \frac{d}{c}}{u}$ por $\frac{c}{c}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c}{c} \cdot \frac{\frac{u}{c} - \frac{d}{c}}{u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Paso 2.3.7.2

Combinar.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c (\frac{u}{c} - \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Paso 2.3.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c \frac{u}{c} + c (- \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Paso 2.3.7.4

Cancela el factor común de $c$ .

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Paso 2.3.7.4.1

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c \frac{u}{c} + c (- \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Paso 2.3.7.4.2

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u + c (- \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Paso 2.3.7.5

Combina $c$ y $\frac{d}{c}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u - \frac{c d}{c}}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Paso 2.3.7.6

Cancela el factor común de $c$ .

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Paso 2.3.7.6.1

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u - \frac{c d}{c}}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Paso 2.3.7.6.2

Divide $d$ por $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u - d}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Paso 2.3.8

Dado que $\frac{1}{c}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{c}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} \int \frac{u - d}{u} d u) + \int \frac{b}{u} d u)$

Paso 2.3.9

Divide la fracción en varias fracciones.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} \int \frac{u}{u} + \frac{- d}{u} d u) + \int \frac{b}{u} d u)$

Paso 2.3.10

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Paso 2.3.11

Cancela el factor común de $u$ .

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Paso 2.3.11.1

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Paso 2.3.11.2

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (\int d u + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Paso 2.3.12

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Paso 2.3.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} + \int - \frac{d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Paso 2.3.14

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} - \int \frac{d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Paso 2.3.15

Dado que $d$ es constante con respecto a $u$ , mueve $d$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} - (d \int \frac{1}{u} d u))) + \int \frac{b}{u} d u)$

Paso 2.3.16

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} - (d (\ln (| u |) + C_{3})))) + \int \frac{b}{u} d u)$

Paso 2.3.17

Combina $\frac{1}{c}$ y $a$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a}{c} (u + C_{2} - d (\ln (| u |) + C_{3})) + \int \frac{b}{u} d u)$

Paso 2.3.18

Dado que $b$ es constante con respecto a $u$ , mueve $b$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a}{c} (u + C_{2} - d (\ln (| u |) + C_{3})) + b \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 2.3.19

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a}{c} (u + C_{2} - d (\ln (| u |) + C_{3})) + b (\ln (| u |) + C_{4}))$

Paso 2.3.20

Simplifica.

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Paso 2.3.20.1

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a (u - d \ln (| u |))}{c} + b \ln (| u |)) + C_{5}$

Paso 2.3.20.2

Simplifica.

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Paso 2.3.20.2.1

Para escribir $b \ln (| u |)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{c}{c}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a (u - d \ln (| u |))}{c} + \frac{b \ln (| u |) c}{c}) + C_{5}$

Paso 2.3.20.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} \cdot \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c} + C_{5}$

Paso 2.3.20.2.3

Multiplica $\frac{1}{c}$ por $\frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c}$ .

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c \cdot c} + C_{5}$

Paso 2.3.20.2.4

Eleva $c$ a la potencia de $1$ .

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{1} c} + C_{5}$

Paso 2.3.20.2.5

Eleva $c$ a la potencia de $1$ .

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{1} c^{1}} + C_{5}$

Paso 2.3.20.2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{1 + 1}} + C_{5}$

Paso 2.3.20.2.7

Suma $1$ y $1$ .

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{2}} + C_{5}$

Paso 2.3.21

Reemplaza todos los casos de $u$ con $c x + d$ .

$y + C_{1} = \frac{a (c x + d - d \ln (| c x + d |)) + b \ln (| c x + d |) c}{c^{2}} + C_{5}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = \frac{a (c x + d - d \ln (| c x + d |)) + b \ln (| c x + d |) c}{c^{2}} + C$