Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{\ln (x)}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u = \ln (x)$ . Entonces $d u = \frac{1}{x} d x$ , de modo que $x d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u = \ln (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 2.3.1.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = \int u d u$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K$