Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} + y^{2}}{3 x^{2} + 2 x y}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como una función de $\frac{y}{x}$ .

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Paso 1.1

Multiplica $\frac{2 x^{2} + y^{2}}{3 x^{2} + 2 x y}$ por $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} + y^{2}}{3 x^{2} + 2 x y} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.2

Multiplica $\frac{2 x^{2} + y^{2}}{3 x^{2} + 2 x y}$ por $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(2 x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 2 \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 2 \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.5

Combina $y^{2}$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.7

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.7.1

Factoriza $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{x^{2} \cdot 3 \frac{1}{x^{2}} + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.7.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{x^{2} \cdot 3 \frac{1}{x^{2}} + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.8

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.8.1

Factoriza $x$ de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + x (2 y) \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.8.2

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x}}$

Paso 1.8.3

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x}}$

Paso 1.8.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + 2 y \frac{1}{x}}$

Paso 1.9

Combina $2$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + y \frac{2}{x}}$

Paso 1.10

Combina $y$ y $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + \frac{y \cdot 2}{x}}$

Paso 1.11

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + \frac{2 y}{x}}$

Paso 1.12

Usa la potencia de la regla del cociente $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + {(\frac{y}{x})}^{2}}{3 + \frac{2 y}{x}}$

Paso 1.13

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{2 y}{x}$ .

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Paso 1.13.1

Factoriza $\frac{y}{x}$ de $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + {(\frac{y}{x})}^{2}}{3 + \frac{y}{x} \cdot 2}$

Paso 1.13.2

Reordena $\frac{y}{x}$ y $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + {(\frac{y}{x})}^{2}}{3 + 2 \cdot \frac{y}{x}}$

Paso 2

Sea $V = \frac{y}{x}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + V^{2}}{3 + 2 \cdot V}$

Paso 3

Resuelve $V = \frac{y}{x}$ en $y$ .

$y = V x$

Paso 4

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V x$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Paso 5

Sustituye $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{2 + V^{2}}{3 + 2 V}$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 6.1

Separa las variables.

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Paso 6.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d x}$

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Paso 6.1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d V}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.1.1.1.1

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2}}{3 + 2 V} - V$

Paso 6.1.1.1.2

Divide la fracción $\frac{2 + V^{2}}{3 + 2 V}$ en dos fracciones.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2}{3 + 2 V} + \frac{V^{2}}{3 + 2 V} - V$

Paso 6.1.1.1.3

Obtén el denominador común

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Paso 6.1.1.1.3.1

Escribe $- V$ como una fracción con el denominador $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2}{3 + 2 V} + \frac{V^{2}}{3 + 2 V} + \frac{- V}{1}$

Paso 6.1.1.1.3.2

Multiplica $\frac{- V}{1}$ por $\frac{3 + 2 V}{3 + 2 V}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2}{3 + 2 V} + \frac{V^{2}}{3 + 2 V} + \frac{- V}{1} \cdot \frac{3 + 2 V}{3 + 2 V}$

Paso 6.1.1.1.3.3

Multiplica $\frac{- V}{1}$ por $\frac{3 + 2 V}{3 + 2 V}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2}{3 + 2 V} + \frac{V^{2}}{3 + 2 V} + \frac{- V (3 + 2 V)}{3 + 2 V}$

Paso 6.1.1.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - V (3 + 2 V)}{2 V + 3}$

Paso 6.1.1.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - V \cdot 3 - V (2 V)}{2 V + 3}$

Paso 6.1.1.1.5.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - 3 V - V (2 V)}{2 V + 3}$

Paso 6.1.1.1.5.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - 3 V - 1 \cdot 2 V \cdot V}{2 V + 3}$

Paso 6.1.1.1.5.4

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.1.5.4.1

Multiplica $V$ por $V$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.1.1.5.4.1.1

Mueve $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - 3 V - 1 \cdot 2 (V \cdot V)}{2 V + 3}$

Paso 6.1.1.1.5.4.1.2

Multiplica $V$ por $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - 3 V - 1 \cdot 2 V^{2}}{2 V + 3}$

Paso 6.1.1.1.5.4.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - 3 V - 2 V^{2}}{2 V + 3}$

Paso 6.1.1.1.6

Resta $2 V^{2}$ de $V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 - V^{2} - 3 V}{2 V + 3}$

Paso 6.1.1.1.7

Reordena los términos.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{- V^{2} - 3 V + 2}{2 V + 3}$

Paso 6.1.1.1.8

Divide la fracción $\frac{- V^{2} - 3 V + 2}{2 V + 3}$ en dos fracciones.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{- V^{2} - 3 V}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$

Paso 6.1.1.1.9

Factoriza $V$ de $- V^{2} - 3 V$ .

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Paso 6.1.1.1.9.1

Factoriza $V$ de $- V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V (- V) - 3 V}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$

Paso 6.1.1.1.9.2

Factoriza $V$ de $- 3 V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V (- V) + V \cdot - 3}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$

Paso 6.1.1.1.9.3

Factoriza $V$ de $V (- V) + V \cdot - 3$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V (- V - 3)}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$

Paso 6.1.1.2

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \frac{V (- V - 3)}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$ por $x$ y simplifica.

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Paso 6.1.1.2.1

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \frac{V (- V - 3)}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V (- V - 3)}{2 V + 3}}{x} + \frac{\frac{2}{2 V + 3}}{x}$

Paso 6.1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V (- V - 3)}{2 V + 3}}{x} + \frac{\frac{2}{2 V + 3}}{x}$

Paso 6.1.1.2.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (- V - 3)}{2 V + 3}}{x} + \frac{\frac{2}{2 V + 3}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.1.2.3.1

Simplifica los términos.

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Paso 6.1.1.2.3.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (- V - 3)}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (- V - 3) + 2}{2 V + 3}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1.2.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (- V) + V \cdot - 3 + 2}{2 V + 3}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V \cdot V + V \cdot - 3 + 2}{2 V + 3}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.2.3

Mueve $- 3$ a la izquierda de $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V \cdot V - 3 \cdot V + 2}{2 V + 3}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.2.4

Multiplica $V$ por $V$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.1.2.3.2.4.1

Mueve $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V \cdot V) - 3 \cdot V + 2}{2 V + 3}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.2.4.2

Multiplica $V$ por $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{2} - 3 \cdot V + 2}{2 V + 3}}{x}$

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{2} - 3 V + 2}{2 V + 3}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.3

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 6.1.1.2.3.3.1

Factoriza $- 1$ de $- V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{2}) - 3 V + 2}{2 V + 3}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 3 V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{2}) - (3 V) + 2}{2 V + 3}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (V^{2}) - (3 V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{2} + 3 V) + 2}{2 V + 3}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.3.4

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{2} + 3 V) - 1 (- 2)}{2 V + 3}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.3.5

Factoriza $- 1$ de $- (V^{2} + 3 V) - 1 (- 2)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{2} + 3 V - 2)}{2 V + 3}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1.1.2.3.3.6.1

Reescribe $- (V^{2} + 3 V - 2)$ como $- 1 (V^{2} + 3 V - 2)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- 1 (V^{2} + 3 V - 2)}{2 V + 3}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.3.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.5

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 3 V - 2}{x (2 V + 3)}$

Paso 6.1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 6.1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2}$ .

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} (- \frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 6.1.4

Simplifica.

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Paso 6.1.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = - \frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} (\frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 6.1.4.2

Multiplica $\frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = - \frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{(2 V + 3) x}$

Paso 6.1.4.3

Cancela el factor común de $2 V + 3$ .

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Paso 6.1.4.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2}$ al numerador.

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{- (2 V + 3)}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{(2 V + 3) x}$

Paso 6.1.4.3.2

Factoriza $2 V + 3$ de $- (2 V + 3)$ .

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 V + 3) \cdot - 1}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{(2 V + 3) x}$

Paso 6.1.4.3.3

Factoriza $2 V + 3$ de $(2 V + 3) x$ .

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 V + 3) \cdot - 1}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{(2 V + 3) (x)}$

Paso 6.1.4.3.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 V + 3) \cdot - 1}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{(2 V + 3) x}$

Paso 6.1.4.3.5

Reescribe la expresión.

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{x}$

Paso 6.1.4.4

Cancela el factor común de $V^{2} + 3 V - 2$ .

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Paso 6.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{x}$

Paso 6.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Paso 6.1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} d V = - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2

Integra ambos lados.

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Paso 6.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Sea $u = V^{2} + 3 V - 2$ . Entonces $d u = (2 V + 3) d V$ , de modo que $\frac{1}{2 V + 3} d u = d V$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Deja $u = V^{2} + 3 V - 2$ . Obtén $\frac{d u}{d V}$ .

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Paso 6.2.2.1.1.1

Diferencia $V^{2} + 3 V - 2$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2} + 3 V - 2]$

Paso 6.2.2.1.1.2

Diferencia.

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Paso 6.2.2.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $V^{2} + 3 V - 2$ con respecto a $V$ es $\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [3 V] + \frac{d}{d V} [- 2]$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [3 V] + \frac{d}{d V} [- 2]$

Paso 6.2.2.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ es $n V^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 V + \frac{d}{d V} [3 V] + \frac{d}{d V} [- 2]$

Paso 6.2.2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d V} [3 V]$ .

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Paso 6.2.2.1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $V$ , la derivada de $3 V$ con respecto a $V$ es $3 \frac{d}{d V} [V]$ .

$2 V + 3 \frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [- 2]$

Paso 6.2.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ es $n V^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 V + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d V} [- 2]$

Paso 6.2.2.1.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$2 V + 3 + \frac{d}{d V} [- 2]$

Paso 6.2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 6.2.2.1.1.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $V$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $V$ es $0$ .

$2 V + 3 + 0$

Paso 6.2.2.1.1.4.2

Suma $2 V + 3$ y $0$ .

$2 V + 3$

Paso 6.2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $V^{2} + 3 V - 2$ .

$\ln (| V^{2} + 3 V - 2 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| V^{2} + 3 V - 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.3.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| V^{2} + 3 V - 2 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Paso 6.2.3.3

Simplifica.

$\ln (| V^{2} + 3 V - 2 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 6.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| V^{2} + 3 V - 2 |) = - \ln (| x |) + C$

Paso 7

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 3 \frac{y}{x} - 2 |) = - \ln (| x |) + C$

Paso 8

Resuelve $\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 3 \frac{y}{x} - 2 |) = - \ln (| x |) + C$ en $y$ .

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Paso 8.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 3 (\frac{y}{x}) - 2 |) + \ln (| x |) = C$

Paso 8.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 3 (\frac{y}{x}) - 2 | | x |) = C$

Paso 8.3

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{y}{x}$ .

$\ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 3 (\frac{y}{x}) - 2 | | x |) = C$

Paso 8.3.2

Combina $3$ y $\frac{y}{x}$ .

$\ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{3 y}{x} - 2 | | x |) = C$

Paso 8.4

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\ln (| (\frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{3 y}{x} - 2) x |) = C$

Paso 8.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} \cdot x + \frac{3 y}{x} \cdot x - 2 x |) = C$

Paso 8.6

Simplifica.

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Paso 8.6.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.6.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\ln (| \frac{y^{2}}{x \cdot x} \cdot x + \frac{3 y}{x} \cdot x - 2 x |) = C$

Paso 8.6.1.2

Cancela el factor común.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x \cdot x} \cdot x + \frac{3 y}{x} \cdot x - 2 x |) = C$

Paso 8.6.1.3

Reescribe la expresión.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x} + \frac{3 y}{x} \cdot x - 2 x |) = C$

Paso 8.6.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.6.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x} + \frac{3 y}{x} \cdot x - 2 x |) = C$

Paso 8.6.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x} + 3 y - 2 x |) = C$