Cálculo Ejemplos

$x d x + \sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = 0$

Paso 1

Resta $x d x$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = - x d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} \sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} (- x) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ .

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} \sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} (- x) d x$

Paso 3.1.2

Reescribe la expresión.

$1 d y = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} (- x) d x$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 d y = - \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} x d x$

Paso 3.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = a$ y $b = x$ .

$1 d y = - \frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}} x d x$

Paso 3.4

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ por $\frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ .

$1 d y = - (\frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}) x d x$

Paso 3.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.5.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ por $\frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)} \sqrt{(a + x) (a - x)}} x d x$

Paso 3.5.2

Eleva $\sqrt{(a + x) (a - x)}$ a la potencia de $1$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1} \sqrt{(a + x) (a - x)}} x d x$

Paso 3.5.3

Eleva $\sqrt{(a + x) (a - x)}$ a la potencia de $1$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1} {\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1}} x d x$

Paso 3.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1 + 1}} x d x$

Paso 3.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{2}} x d x$

Paso 3.5.6

Reescribe ${\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{2}$ como $(a + x) (a - x)$ .

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Paso 3.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(a + x) (a - x)}$ como ${((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{({((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} x d x$

Paso 3.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} x d x$

Paso 3.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{\frac{2}{2}}} x d x$

Paso 3.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{\frac{2}{2}}} x d x$

Paso 3.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{1}} x d x$

Paso 3.5.6.5

Simplifica.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} x d x$

Paso 3.6

Combina $x$ y $\frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)}$ .

$1 d y = - \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int - \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

Paso 4.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

Paso 4.3.2

Sea $u = (a + x) (a - x)$ . Entonces $d u = - 2 x d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.3.2.1

Deja $u = (a + x) (a - x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Diferencia $(a + x) (a - x)$ .

$\frac{d}{d x} [(a + x) (a - x)]$

Paso 4.3.2.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = a + x$ y $g (x) = a - x$ .

$(a + x) \frac{d}{d x} [a - x] + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Paso 4.3.2.1.3

Diferencia.

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Paso 4.3.2.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $a - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(a + x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Paso 4.3.2.1.3.2

Como $a$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $a$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(a + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Paso 4.3.2.1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(a + x) \frac{d}{d x} [- x] + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Paso 4.3.2.1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(a + x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Paso 4.3.2.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(a + x) (- 1 \cdot 1) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Paso 4.3.2.1.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.2.1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(a + x) \cdot - 1 + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Paso 4.3.2.1.3.6.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $a + x$ .

$- 1 \cdot (a + x) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Paso 4.3.2.1.3.6.3

Reescribe $- 1 (a + x)$ como $- (a + x)$ .

$- (a + x) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Paso 4.3.2.1.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $a + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (a + x) + (a - x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3.2.1.3.8

Como $a$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $a$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- (a + x) + (a - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3.2.1.3.9

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x]$ .

$- (a + x) + (a - x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3.2.1.3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- (a + x) + (a - x) \cdot 1$

Paso 4.3.2.1.3.11

Multiplica $a - x$ por $1$ .

$- (a + x) + a - x$

Paso 4.3.2.1.4

Simplifica.

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Paso 4.3.2.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- a - x + a - x$

Paso 4.3.2.1.4.2

Combina los términos.

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Paso 4.3.2.1.4.2.1

Suma $- a$ y $a$ .

$- x + 0 - x$

Paso 4.3.2.1.4.2.2

Suma $- x$ y $0$ .

$- x - x$

Paso 4.3.2.1.4.2.3

Resta $x$ de $- x$ .

$- 2 x$

Paso 4.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Paso 4.3.3

Simplifica.

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Paso 4.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 4.3.3.2

Multiplica $\frac{\sqrt{u}}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - \int - \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

Paso 4.3.3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$y + C_{1} = - \int - \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Paso 4.3.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - - \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Paso 4.3.5

Simplifica.

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = 1 \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Paso 4.3.5.2

Multiplica $\int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$ por $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Paso 4.3.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

Paso 4.3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

Paso 4.3.7.2

Simplifica.

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Paso 4.3.7.2.1

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Paso 4.3.7.2.2

Multiplica $u$ por $u^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.7.2.2.1

Multiplica $u$ por $u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.3.7.2.2.1.1

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Paso 4.3.7.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

Paso 4.3.7.2.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

Paso 4.3.7.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

Paso 4.3.7.2.2.4

Resta $1$ de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 4.3.7.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.3.7.3.1

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 4.3.7.3.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.7.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 4.3.7.3.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 4.3.7.3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 4.3.8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Paso 4.3.9

Simplifica.

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Paso 4.3.9.1

Reescribe $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ como $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 4.3.9.2

Simplifica.

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Paso 4.3.9.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 4.3.9.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.9.2.2.1

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 4.3.9.2.2.2

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 4.3.9.2.3

Multiplica $u^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$y + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 4.3.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $(a + x) (a - x)$ .

$y + C_{1} = {((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = {((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}} + K$