Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{2 x}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2} \cdot \frac{x + 1}{x}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{2}{y}$ .

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (\frac{y}{2} \cdot \frac{x + 1}{x})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{y}{2}$ por $\frac{x + 1}{x}$ .

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{2 x}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{2 (x)}$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{2 x}$

Paso 1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{x}$

Paso 1.3.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{x}$

Paso 1.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{x}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{2}{y} d y = \frac{x + 1}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{2}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Paso 2.2.3

Simplifica.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} + \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.3.3.1

Cancela el factor común.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.3.2

Reescribe la expresión.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.4

Aplica la regla de la constante.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.5

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Paso 2.3.6

Simplifica.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$2 \ln (| y |) = x + \ln (| x |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$2 \ln (| y |) - \ln (| x |) = x + C$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica $2 \ln (| y |) - \ln (| x |)$ .

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Paso 3.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1.1

Simplifica $2 \ln (| y |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| x |) = x + C$

Paso 3.2.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| y |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln (y^{2}) - \ln (| x |) = x + C$

Paso 3.2.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{y^{2}}{| x |}) = x + C$

Paso 3.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{y^{2}}{| x |})} = e^{x + C}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (\frac{y^{2}}{| x |}) = x + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = \frac{y^{2}}{| x |}$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{y^{2}}{| x |} = e^{x + C}$ .

$\frac{y^{2}}{| x |} = e^{x + C}$

Paso 3.5.2

Multiplica ambos lados por $| x |$ .

$\frac{y^{2}}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.3.1

Cancela el factor común de $| x |$ .

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Paso 3.5.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2}}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

Paso 3.5.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = e^{x + C} | x |$

Paso 3.5.4

Resuelve $y$

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Paso 3.5.4.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Paso 3.5.4.2

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.4.2.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Paso 3.5.4.2.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Paso 3.5.4.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{x + C}$ como $e^{x} e^{C}$ .

$y = \sqrt{e^{x} e^{C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Paso 4.2

Reordena $e^{x}$ y $e^{C}$ .

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Paso 4.3

Reescribe $e^{x + C}$ como $e^{x} e^{C}$ .

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x} e^{C} | x |}$

Paso 4.4

Reordena $e^{x}$ y $e^{C}$ .

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$