Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{20 - x} y = 4$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{2}{20 - x}$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{2}{20 - x} d x}$

Paso 1.2

Integra $\frac{2}{20 - x}$ .

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Paso 1.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{2 \int \frac{1}{20 - x} d x}$

Paso 1.2.2

Sea $u = 20 - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.2.2.1

Deja $u = 20 - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 1.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{2 \int \frac{- 1}{u} d u}$

Paso 1.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{2 \int - \frac{1}{u} d u}$

Paso 1.2.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{2 (- \int \frac{1}{u} d u)}$

Paso 1.2.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 1.2.6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| u |) + C)}$

Paso 1.2.7

Simplifica.

$e^{- 2 \ln (| u |) + C}$

Paso 1.2.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $20 - x$ .

$e^{- 2 \ln (| 20 - x |) + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- 2 \ln (20 - x)}$

Paso 1.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln ({(20 - x)}^{- 2})}$

Paso 1.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

${(20 - x)}^{- 2}$

Paso 1.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} (\frac{2}{20 - x} y) = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Combina $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ y $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} (\frac{2}{20 - x} y) = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Paso 2.2.2

Combina $\frac{2}{20 - x}$ y $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{20 - x} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Paso 2.2.3

Multiplica $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{20 - x}$ .

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Paso 2.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ por $\frac{2 y}{20 - x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{2} (20 - x)} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Paso 2.2.3.2

Multiplica ${(20 - x)}^{2}$ por $20 - x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.3.2.1

Multiplica ${(20 - x)}^{2}$ por $20 - x$ .

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Paso 2.2.3.2.1.1

Eleva $20 - x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{2} {(20 - x)}^{1}} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Paso 2.2.3.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{2 + 1}} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Paso 2.2.3.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{3}} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Paso 2.3

Combina $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ y $4$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{3}} = \frac{4}{{(20 - x)}^{2}}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y] = \frac{4}{{(20 - x)}^{2}}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y] d x = \int \frac{4}{{(20 - x)}^{2}} d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = \int \frac{4}{{(20 - x)}^{2}} d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 \int \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} d x$

Paso 6.2

Sea $u = 20 - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.2.1

Deja $u = 20 - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.2.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 6.2.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 6.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 \int \frac{- 1}{u^{2}} d u$

Paso 6.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 \int - \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 6.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 (- \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Paso 6.5

Simplifica la expresión.

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Paso 6.5.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 6.5.2

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Paso 6.5.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 6.5.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Paso 6.5.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 \int u^{- 2} d u$

Paso 6.6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 (- u^{- 1} + C)$

Paso 6.7

Simplifica.

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Paso 6.7.1

Reescribe $- 4 (- u^{- 1} + C)$ como $- 4 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 (- \frac{1}{u}) + C$

Paso 6.7.2

Simplifica.

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Paso 6.7.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 \frac{1}{u} + C$

Paso 6.7.2.2

Combina $4$ y $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = \frac{4}{u} + C$

Paso 6.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $20 - x$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = \frac{4}{20 - x} + C$

Paso 7

Resuelve $y$

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Paso 7.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 7.1.1

Resta $\frac{4}{20 - x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y - \frac{4}{20 - x} = C$

Paso 7.1.2

Resta $C$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y - \frac{4}{20 - x} - C = 0$

Paso 7.1.3

Combina $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ y $y$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4}{20 - x} - C = 0$

Paso 7.1.4

Para escribir $- \frac{4}{20 - x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{20 - x}{20 - x}$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4}{20 - x} \cdot \frac{20 - x}{20 - x} - C = 0$

Paso 7.1.5

Escribe cada expresión con un denominador común de ${(20 - x)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.1.5.1

Multiplica $\frac{4}{20 - x}$ por $\frac{20 - x}{20 - x}$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{(20 - x) (20 - x)} - C = 0$

Paso 7.1.5.2

Eleva $20 - x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{1} (20 - x)} - C = 0$

Paso 7.1.5.3

Eleva $20 - x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{1} {(20 - x)}^{1}} - C = 0$

Paso 7.1.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{1 + 1}} - C = 0$

Paso 7.1.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

Paso 7.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y - 4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

Paso 7.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y - 4 \cdot 20 - 4 (- x)}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

Paso 7.1.7.2

Multiplica $- 4$ por $20$ .

$\frac{y - 80 - 4 (- x)}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

Paso 7.1.7.3

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{y - 80 + 4 x}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

Paso 7.1.8

Para escribir $- C$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}}$ .

$\frac{y - 80 + 4 x}{{(20 - x)}^{2}} - C \cdot \frac{{(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Paso 7.1.9

Combina $- C$ y $\frac{{(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}}$ .

$\frac{y - 80 + 4 x}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{- C {(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Paso 7.1.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y - 80 + 4 x - C {(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Paso 7.1.11

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.11.1

Reescribe ${(20 - x)}^{2}$ como $(20 - x) (20 - x)$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C ((20 - x) (20 - x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Paso 7.1.11.2

Expande $(20 - x) (20 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.1.11.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (20 (20 - x) - x (20 - x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Paso 7.1.11.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (20 \cdot 20 + 20 (- x) - x (20 - x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Paso 7.1.11.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (20 \cdot 20 + 20 (- x) - x \cdot 20 - x (- x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Paso 7.1.11.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 7.1.11.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.11.3.1.1

Multiplica $20$ por $20$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 + 20 (- x) - x \cdot 20 - x (- x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Paso 7.1.11.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $20$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - x \cdot 20 - x (- x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Paso 7.1.11.3.1.3

Multiplica $20$ por $- 1$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x - x (- x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Paso 7.1.11.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Paso 7.1.11.3.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1.11.3.1.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Paso 7.1.11.3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x - 1 \cdot - 1 x^{2})}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Paso 7.1.11.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x + 1 x^{2})}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Paso 7.1.11.3.1.7

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x + x^{2})}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Paso 7.1.11.3.2

Resta $20 x$ de $- 20 x$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 40 x + x^{2})}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Paso 7.1.11.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y - 80 + 4 x - C \cdot 400 - C (- 40 x) - C x^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Paso 7.1.11.5

Simplifica.

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Paso 7.1.11.5.1

Multiplica $400$ por $- 1$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - 400 C - C (- 40 x) - C x^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Paso 7.1.11.5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{y - 80 + 4 x - 400 C - 1 \cdot - 40 C x - C x^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Paso 7.1.11.6

Multiplica $- 1$ por $- 40$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - 400 C + 40 C x - C x^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Paso 7.2

Establece el numerador igual a cero.

$y - 80 + 4 x - 400 C + 40 C x - C x^{2} = 0$

Paso 7.3

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.3.1

Suma $80$ a ambos lados de la ecuación.

$y + 4 x - 400 C + 40 C x - C x^{2} = 80$

Paso 7.3.2

Resta $4 x$ de ambos lados de la ecuación.

$y - 400 C + 40 C x - C x^{2} = 80 - 4 x$

Paso 7.3.3

Suma $400 C$ a ambos lados de la ecuación.

$y + 40 C x - C x^{2} = 80 - 4 x + 400 C$

Paso 7.3.4

Resta $40 C x$ de ambos lados de la ecuación.

$y - C x^{2} = 80 - 4 x + 400 C - 40 C x$

Paso 7.3.5

Suma $C x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 80 - 4 x + 400 C - 40 C x + C x^{2}$