Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = a (b - y)$

Paso 1

Sea $v = b - y$ . Sustituye $v$ por todos los casos de $b - y$ .

$\frac{d y}{d x} = a v$

Paso 2

Obtén $\frac{d v}{d x}$ mediante la diferenciación de $b - y$ .

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $b - y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [b] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d x} [b] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.2

Como $b$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $b$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{d v}{d x} = 0 + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = 0 - \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 0 - y'$

Paso 2.4

Resta $y'$ de $0$ .

$\frac{d v}{d x} = - y'$

Paso 3

Vuelve a sustituir la derivada en la ecuación diferencial.

$- \frac{d v}{d x} = a v$

Paso 4

Separa las variables.

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Paso 4.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} (- \frac{d v}{d x}) = \frac{1}{v} (a v)$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $v$ de $a v$ .

$\frac{1}{v} (- \frac{d v}{d x}) = \frac{1}{v} (v a)$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{v} (- \frac{d v}{d x}) = \frac{1}{v} (v a)$

Paso 4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{v} (- \frac{d v}{d x}) = a$

Paso 4.3

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{1}{v} \cdot - 1 \frac{d v}{d x} = a$

Paso 4.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{v} \cdot - 1 d v = a d x$

Paso 5

Integra ambos lados.

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Paso 5.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{v} \cdot - 1 d v = \int a d x$

Paso 5.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica.

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Paso 5.2.1.1

Combina $\frac{1}{v}$ y $- 1$ .

$\int \frac{- 1}{v} d v = \int a d x$

Paso 5.2.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - \frac{1}{v} d v = \int a d x$

Paso 5.2.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $v$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{v} d v = \int a d x$

Paso 5.2.3

La integral de $\frac{1}{v}$ con respecto a $v$ es $\ln (| v |)$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) = \int a d x$

Paso 5.2.4

Simplifica.

$- \ln (| v |) + C_{1} = \int a d x$

Paso 5.3

Aplica la regla de la constante.

$- \ln (| v |) + C_{1} = a x + C_{2}$

Paso 5.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \ln (| v |) = a x + C$

Paso 6

Resuelve $v$

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Paso 6.1

Divide cada término en $- \ln (| v |) = a x + C$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.1.1

Divide cada término en $- \ln (| v |) = a x + C$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| v |)}{- 1} = \frac{a x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 6.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\ln (| v |)}{1} = \frac{a x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 6.1.2.2

Divide $\ln (| v |)$ por $1$ .

$\ln (| v |) = \frac{a x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 6.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{a x}{- 1}$ .

$\ln (| v |) = - 1 \cdot (a x) + \frac{C}{- 1}$

Paso 6.1.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot (a x)$ como $- (a x)$ .

$\ln (| v |) = - (a x) + \frac{C}{- 1}$

Paso 6.1.3.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| v |) = - a x - 1 \cdot C$

Paso 6.1.3.1.4

Reescribe $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (| v |) = - a x - C$

Paso 6.2

Para resolver $v$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| v |)} = e^{- a x - C}$

Paso 6.3

Reescribe $\ln (| v |) = - a x - C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- a x - C} = | v |$

Paso 6.4

Resuelve $v$

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Paso 6.4.1

Reescribe la ecuación como $| v | = e^{- a x - C}$ .

$| v | = e^{- a x - C}$

Paso 6.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{- a x - C}$

Paso 7

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 7.1

Simplifica la constante de integración.

$v = \pm e^{- a x + C}$

Paso 7.2

Reescribe $e^{- a x + C}$ como $e^{- a x} e^{C}$ .

$v = \pm e^{- a x} e^{C}$

Paso 7.3

Reordena $e^{- a x}$ y $e^{C}$ .

$v = \pm e^{C} e^{- a x}$

Paso 7.4

Combina constantes con el signo más o menos.

$v = C e^{- a x}$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $v$ con $b - y$ .

$b - y = C e^{- a x}$

Paso 9

Resuelve $y$

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Paso 9.1

Resta $b$ de ambos lados de la ecuación.

$- y = C e^{- a x} - b$

Paso 9.2

Divide cada término en $- y = C e^{- a x} - b$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 9.2.1

Divide cada término en $- y = C e^{- a x} - b$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{C e^{- a x}}{- 1} + \frac{- b}{- 1}$

Paso 9.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{C e^{- a x}}{- 1} + \frac{- b}{- 1}$

Paso 9.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{C e^{- a x}}{- 1} + \frac{- b}{- 1}$

Paso 9.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{C e^{- a x}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (C e^{- a x}) + \frac{- b}{- 1}$

Paso 9.2.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot (C e^{- a x})$ como $- (C e^{- a x})$ .

$y = - (C e^{- a x}) + \frac{- b}{- 1}$

Paso 9.2.3.1.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = - C e^{- a x} + \frac{b}{1}$

Paso 9.2.3.1.4

Divide $b$ por $1$ .

$y = - C e^{- a x} + b$

Paso 10

Simplifica la constante de integración.

$y = C e^{- a x} + b$