Cálculo Ejemplos

$(y^{2} + x y^{2}) \frac{d y}{d x} + x^{2} - x^{2} y = 0$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} \frac{d y}{d x} + x y^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} - x^{2} y = 0$

Paso 1.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d y}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.2.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} \frac{d y}{d x} + x y^{2} \frac{d y}{d x} - x^{2} y = - x^{2}$

Paso 1.1.2.2

Suma $x^{2} y$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{2} \frac{d y}{d x} + x y^{2} \frac{d y}{d x} = - x^{2} + x^{2} y$

Paso 1.1.3

Factoriza $y^{2} \frac{d y}{d x}$ de $y^{2} \frac{d y}{d x} + x y^{2} \frac{d y}{d x}$ .

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Paso 1.1.3.1

Factoriza $y^{2} \frac{d y}{d x}$ de $y^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 1 + x y^{2} \frac{d y}{d x} = - x^{2} + x^{2} y$

Paso 1.1.3.2

Factoriza $y^{2} \frac{d y}{d x}$ de $x y^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 1 + y^{2} \frac{d y}{d x} x = - x^{2} + x^{2} y$

Paso 1.1.3.3

Factoriza $y^{2} \frac{d y}{d x}$ de $y^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 1 + y^{2} \frac{d y}{d x} x$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} (1 + x) = - x^{2} + x^{2} y$

Paso 1.1.4

Divide cada término en $y^{2} \frac{d y}{d x} (1 + x) = - x^{2} + x^{2} y$ por $y^{2} (1 + x)$ y simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Divide cada término en $y^{2} \frac{d y}{d x} (1 + x) = - x^{2} + x^{2} y$ por $y^{2} (1 + x)$ .

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x} (1 + x)}{y^{2} (1 + x)} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

Paso 1.1.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.4.2.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.1.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x} (1 + x)}{y^{2} (1 + x)} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

Paso 1.1.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x)}{1 + x} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

Paso 1.1.4.2.2

Cancela el factor común de $1 + x$ .

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Paso 1.1.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x)}{1 + x} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

Paso 1.1.4.2.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

Paso 1.1.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

Paso 1.1.4.3.1.2

Cancela el factor común de $y$ y $y^{2}$ .

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Paso 1.1.4.3.1.2.1

Factoriza $y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{y x^{2}}{y^{2} (1 + x)}$

Paso 1.1.4.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.4.3.1.2.2.1

Factoriza $y$ de $y^{2} (1 + x)$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{y x^{2}}{y (y (1 + x))}$

Paso 1.1.4.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{y x^{2}}{y (y (1 + x))}$

Paso 1.1.4.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2}}{y (1 + x)}$

Paso 1.2

Factoriza.

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Paso 1.2.1

Para escribir $\frac{x^{2}}{y (1 + x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2}}{y (1 + x)} \cdot \frac{y}{y}$

Paso 1.2.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $(1 + x) y^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.2.2.1

Multiplica $\frac{x^{2}}{y (1 + x)}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y (1 + x) y}$

Paso 1.2.2.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{1} y (1 + x)}$

Paso 1.2.2.3

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{1} y^{1} (1 + x)}$

Paso 1.2.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{1 + 1} (1 + x)}$

Paso 1.2.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

Paso 1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{2} + x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

Paso 1.2.4

Factoriza $x^{2}$ de $- x^{2} + x^{2} y$ .

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Paso 1.2.4.1

Factoriza $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot - 1 + x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

Paso 1.2.4.2

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot - 1 + x^{2} (y)}{y^{2} (1 + x)}$

Paso 1.2.4.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} \cdot - 1 + x^{2} (y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot (- 1 + y)}{y^{2} (1 + x)}$

Paso 1.2.4.4

Multiplica $x^{2}$ por $- 1 + y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (- 1 + y)}{y^{2} (1 + x)}$

Paso 1.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 + x} \cdot \frac{- 1 + y}{y^{2}}$

Paso 1.4

Multiplica ambos lados por $\frac{y^{2}}{- 1 + y}$ .

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{- 1 + y} (\frac{x^{2}}{1 + x} \cdot \frac{- 1 + y}{y^{2}})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $\frac{x^{2}}{1 + x}$ por $\frac{- 1 + y}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{- 1 + y} \cdot \frac{x^{2} (- 1 + y)}{(1 + x) y^{2}}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $y^{2}$ de $(1 + x) y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{- 1 + y} \cdot \frac{x^{2} (- 1 + y)}{y^{2} (1 + x)}$

Paso 1.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{- 1 + y} \cdot \frac{x^{2} (- 1 + y)}{y^{2} (1 + x)}$

Paso 1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 1 + y} \cdot \frac{x^{2} (- 1 + y)}{1 + x}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de $- 1 + y$ .

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Paso 1.5.3.1

Factoriza $- 1 + y$ de $x^{2} (- 1 + y)$ .

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 1 + y} \cdot \frac{(- 1 + y) x^{2}}{1 + x}$

Paso 1.5.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 1 + y} \cdot \frac{(- 1 + y) x^{2}}{1 + x}$

Paso 1.5.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 + x}$

Paso 1.6

Reescribe la ecuación.

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} d y = \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y^{2}}{- 1 + y} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Reordena $- 1$ y $y$ .

$\int \frac{y^{2}}{y - 1} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Paso 2.2.2

Divide $y^{2}$ por $y - 1$ .

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Paso 2.2.2.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$y$

$1$

$y^{2}$

$0 y$

$0$

Paso 2.2.2.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $y^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $y$ .

					$y$
	$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$

Paso 2.2.2.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$y$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			+	$y^{2}$	-	$y$

Paso 2.2.2.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $y^{2} - y$ .

				$y$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$

Paso 2.2.2.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$y$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$
					+	$y$

Paso 2.2.2.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$y$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$
					+	$y$	+	$0$

Paso 2.2.2.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $y$ por el término de mayor orden en el divisor $y$ .

				$y$	+	$1$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$
					+	$y$	+	$0$

Paso 2.2.2.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$y$	+	$1$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$
					+	$y$	+	$0$
					+	$y$	-	$1$

Paso 2.2.2.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $y - 1$ .

				$y$	+	$1$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$
					+	$y$	+	$0$
					-	$y$	+	$1$

Paso 2.2.2.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$y$	+	$1$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$
					+	$y$	+	$0$
					-	$y$	+	$1$
							+	$1$

Paso 2.2.2.11

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int y + 1 + \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Paso 2.2.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int y d y + \int d y + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Paso 2.2.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int d y + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Paso 2.2.5

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + y + C_{2} + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Paso 2.2.6

Sea $u_{1} = y - 1$ . Entonces $d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.6.1

Deja $u_{1} = y - 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.6.1.1

Diferencia $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Paso 2.2.6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y - 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 2.2.6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 2.2.6.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.6.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.6.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + y + C_{2} + \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Paso 2.2.7

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + y + C_{2} + \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Paso 2.2.8

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| u_{1} |) + C_{4} = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Paso 2.2.9

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y - 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Reordena $1$ y $x$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \int \frac{x^{2}}{x + 1} d x$

Paso 2.3.2

Divide $x^{2}$ por $x + 1$ .

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Paso 2.3.2.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Paso 2.3.2.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Paso 2.3.2.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Paso 2.3.2.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} + x$ .

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Paso 2.3.2.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

Paso 2.3.2.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

Paso 2.3.2.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

Paso 2.3.2.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

Paso 2.3.2.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x - 1$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

Paso 2.3.2.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$
							+	$1$

Paso 2.3.2.11

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \int x - 1 + \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 2.3.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{5} + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 2.3.5

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{5} - x + C_{6} + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 2.3.6

Sea $u_{2} = x + 1$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.6.1

Deja $u_{2} = x + 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.6.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.3.6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.6.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.3.6.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.3.6.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{5} - x + C_{6} + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.7

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{5} - x + C_{6} + \ln (| u_{2} |) + C_{7}$

Paso 2.3.8

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u_{2} |) + C_{8}$

Paso 2.3.9

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| x + 1 |) + C_{8}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| x + 1 |) + C$