Cálculo Ejemplos

$(x e^{y} + y - x^{2}) d y = (2 x y - e^{y} - x) d x$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

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Paso 1.1

Resta $(2 x y - e^{y} - x) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$(x e^{y} + y - x^{2}) d y - (2 x y - e^{y} - x) d x = 0$

Paso 1.2

Reescribe.

$- (2 x y - e^{y} - x) d x + (x e^{y} + y - x^{2}) d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = - (2 x y - e^{y} - x)$ .

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Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (2 x y - e^{y} - x)]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- (2 x y - e^{y} - x)$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [2 x y - e^{y} - x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [2 x y - e^{y} - x]$

Paso 2.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x y - e^{y} - x$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Paso 2.2.3

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $y$ es $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Paso 2.2.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Paso 2.2.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- e^{y}$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ es $a^{y} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - e^{y} + \frac{d}{d y} [- x])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $- x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - e^{y} + 0)$

Paso 2.4.2

Suma $2 x - e^{y}$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - e^{y})$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x) - - e^{y}$

Paso 2.5.2

Combina los términos.

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Paso 2.5.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x - - e^{y}$

Paso 2.5.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + 1 e^{y}$

Paso 2.5.2.3

Multiplica $e^{y}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + e^{y}$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x e^{y} + y - x^{2}$ .

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Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{y} + y - x^{2}]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x e^{y} + y - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $e^{y}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x e^{y}$ con respecto a $x$ es $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 3.3.3

Multiplica $e^{y}$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 3.4

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 3.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 3.5.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 - (2 x)$

Paso 3.5.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 - 2 x$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Suma $e^{y}$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} - 2 x$

Paso 3.6.2

Reordena los términos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x + e^{y}$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- 2 x + e^{y}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 2 x + e^{y}$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x + e^{y} = - 2 x + e^{y}$

Paso 4.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$- 2 x + e^{y} = - 2 x + e^{y}$ es una identidad.

Paso 5

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{y} + y - x^{2} d y$

Paso 6

Integra $N (x, y) = x e^{y} + y - x^{2}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 6.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int x e^{y} d y + \int y d y + \int - x^{2} d y$

Paso 6.2

Dado que $x$ es constante con respecto a $y$ , mueve $x$ fuera de la integral.

$f (x, y) = x \int e^{y} d y + \int y d y + \int - x^{2} d y$

Paso 6.3

La integral de $e^{y}$ con respecto a $y$ es $e^{y}$ .

$f (x, y) = x (e^{y} + C) + \int y d y + \int - x^{2} d y$

Paso 6.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x (e^{y} + C) + \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - x^{2} d y$

Paso 6.5

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = x (e^{y} + C) + \frac{1}{2} y^{2} + C - x^{2} y + C$

Paso 6.6

Simplifica.

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + C$

Paso 7

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$

Paso 8

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - (2 x y - e^{y} - x)$

Paso 9

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 9.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Paso 9.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Paso 9.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

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Paso 9.3.1

Como $e^{y}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x e^{y}$ con respecto a $x$ es $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Paso 9.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Paso 9.3.3

Multiplica $e^{y}$ por $1$ .

$e^{y} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Paso 9.4

Como $\frac{1}{2} y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2} y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{y} + 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Paso 9.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

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Paso 9.5.1

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2} y$ con respecto a $x$ es $- y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{y} + 0 - y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Paso 9.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{y} + 0 - y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Paso 9.5.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{y} + 0 - 2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Paso 9.6

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$e^{y} + 0 - 2 y x + \frac{d g}{d x} = - (2 x y - e^{y} - x)$

Paso 9.7

Simplifica.

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Paso 9.7.1

Suma $e^{y}$ y $0$ .

$e^{y} - 2 y x + \frac{d g}{d x} = - (2 x y - e^{y} - x)$

Paso 9.7.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - (2 x y - e^{y} - x)$

Paso 10

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 10.1

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 10.1.1

Simplifica $- (2 x y - e^{y} - x)$ .

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Paso 10.1.1.1

Reescribe.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = 0 + 0 - (2 x y - e^{y} - x)$

Paso 10.1.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - (2 x y - e^{y} - x)$

Paso 10.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - (2 x y) - - e^{y} - - x$

Paso 10.1.1.4

Simplifica.

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Paso 10.1.1.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) - - e^{y} - - x$

Paso 10.1.1.4.2

Multiplica $- - e^{y}$ .

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Paso 10.1.1.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + 1 e^{y} - - x$

Paso 10.1.1.4.2.2

Multiplica $e^{y}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + e^{y} - - x$

Paso 10.1.1.4.3

Multiplica $- - x$ .

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Paso 10.1.1.4.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + e^{y} + 1 x$

Paso 10.1.1.4.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + e^{y} + x$

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 x y + e^{y} + x$

Paso 10.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.1.2.1

Suma $2 x y$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} + e^{y} = - 2 x y + e^{y} + x + 2 x y$

Paso 10.1.2.2

Resta $e^{y}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = - 2 x y + e^{y} + x + 2 x y - e^{y}$

Paso 10.1.2.3

Combina los términos opuestos en $- 2 x y + e^{y} + x + 2 x y - e^{y}$ .

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Paso 10.1.2.3.1

Suma $- 2 x y$ y $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = e^{y} + x + 0 - e^{y}$

Paso 10.1.2.3.2

Suma $e^{y} + x$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = e^{y} + x - e^{y}$

Paso 10.1.2.3.3

Resta $e^{y}$ de $e^{y}$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Paso 10.1.2.3.4

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Paso 11

Obtén la antiderivada de $x$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 11.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Paso 11.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Paso 11.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 12

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 13

Simplifica cada término.

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Paso 13.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{y^{2}}{2} - x^{2} y + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 13.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{y^{2}}{2} - x^{2} y + \frac{x^{2}}{2} + C$