Cálculo Ejemplos

$m x d y = n y d x$

Paso 1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (m x) d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $x$ de $x y$ .

$\frac{1}{x (y)} (m x) d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Paso 2.1.2

Factoriza $x$ de $m x$ .

$\frac{1}{x (y)} (x m) d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Paso 2.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x y} (x m) d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Paso 2.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} m d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Paso 2.2

Combina $\frac{1}{y}$ y $m$ .

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Paso 2.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.3.1

Factoriza $y$ de $x y$ .

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{y x} (n y) d x$

Paso 2.3.2

Factoriza $y$ de $n y$ .

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{y x} (y n) d x$

Paso 2.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{y x} (y n) d x$

Paso 2.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{x} n d x$

Paso 2.4

Combina $\frac{1}{x}$ y $n$ .

$\frac{m}{y} d y = \frac{n}{x} d x$

Paso 3

Integra ambos lados.

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Paso 3.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{m}{y} d y = \int \frac{n}{x} d x$

Paso 3.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Dado que $m$ es constante con respecto a $y$ , mueve $m$ fuera de la integral.

$m \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{n}{x} d x$

Paso 3.2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$m (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{n}{x} d x$

Paso 3.2.3

Simplifica.

$m \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{n}{x} d x$

Paso 3.3

Integra el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Dado que $n$ es constante con respecto a $x$ , mueve $n$ fuera de la integral.

$m \ln (| y |) + C_{1} = n \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.3.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$m \ln (| y |) + C_{1} = n (\ln (| x |) + C_{2})$

Paso 3.3.3

Simplifica.

$m \ln (| y |) + C_{1} = n \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 3.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$m \ln (| y |) = n \ln (| x |) + C$

Paso 4

Resuelve $y$

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$m \ln (| y |) - n \ln (| x |) = C$

Paso 4.2

Suma $n \ln (| x |)$ a ambos lados de la ecuación.

$m \ln (| y |) = C + n \ln (| x |)$

Paso 4.3

Divide cada término en $m \ln (| y |) = C + n \ln (| x |)$ por $\ln (| y |)$ y simplifica.

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Paso 4.3.1

Divide cada término en $m \ln (| y |) = C + n \ln (| x |)$ por $\ln (| y |)$ .

$\frac{m \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = \frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)}$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.1

Cancela el factor común de $\ln (| y |)$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{m \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = \frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)}$

Paso 4.3.2.1.2

Divide $m$ por $1$ .

$m = \frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)}$

Paso 4.4

Reescribe la ecuación como $\frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} = m$ .

$\frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} = m$

Paso 4.5

Multiplica cada término en $\frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} = m$ por $\ln (| y |)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 4.5.1

Multiplica cada término en $\frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} = m$ por $\ln (| y |)$ .

$\frac{C}{\ln (| y |)} \ln (| y |) + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} \ln (| y |) = m \ln (| y |)$

Paso 4.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.2.1.1

Combina $\frac{C}{\ln (| y |)}$ y $\ln (| y |)$ .

$\frac{C \ln (| y |)}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} \ln (| y |) = m \ln (| y |)$

Paso 4.5.2.1.2

Combina $\frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)}$ y $\ln (| y |)$ .

$\frac{C \ln (| y |)}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = m \ln (| y |)$

Paso 4.6

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\frac{C \ln (| y |)}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} - m \ln (| y |) = 0$

Paso 4.7

Simplifica cada término.

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Paso 4.7.1

Cancela el factor común de $\ln (| y |)$ .

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Paso 4.7.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{C \ln (| y |)}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} - m \ln (| y |) = 0$

Paso 4.7.1.2

Divide $C$ por $1$ .

$C + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} - m \ln (| y |) = 0$

Paso 4.7.2

Cancela el factor común de $\ln (| y |)$ .

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Paso 4.7.2.1

Cancela el factor común.

$C + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} - m \ln (| y |) = 0$

Paso 4.7.2.2

Divide $n \ln (| x |)$ por $1$ .

$C + n \ln (| x |) - m \ln (| y |) = 0$

Paso 4.8

Mueve todos los términos que no contengan $\ln (| y |)$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.8.1

Resta $C$ de ambos lados de la ecuación.

$n \ln (| x |) - m \ln (| y |) = - C$

Paso 4.8.2

Resta $n \ln (| x |)$ de ambos lados de la ecuación.

$- m \ln (| y |) = - C - n \ln (| x |)$

Paso 4.9

Divide cada término en $- m \ln (| y |) = - C - n \ln (| x |)$ por $- m$ y simplifica.

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Paso 4.9.1

Divide cada término en $- m \ln (| y |) = - C - n \ln (| x |)$ por $- m$ .

$\frac{- m \ln (| y |)}{- m} = \frac{- C}{- m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

Paso 4.9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.9.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{m \ln (| y |)}{m} = \frac{- C}{- m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

Paso 4.9.2.2

Cancela el factor común de $m$ .

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Paso 4.9.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{m \ln (| y |)}{m} = \frac{- C}{- m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

Paso 4.9.2.2.2

Divide $\ln (| y |)$ por $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{- C}{- m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

Paso 4.9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.9.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.9.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\ln (| y |) = \frac{C}{m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

Paso 4.9.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\ln (| y |) = \frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}$

Paso 4.10

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}}$

Paso 4.11

Reescribe $\ln (| y |) = \frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}} = | y |$

Paso 4.12

Resuelve $y$

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Paso 4.12.1

Reescribe la ecuación como $| y | = e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}}$ .

$| y | = e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}}$

Paso 4.12.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}}$