Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{(x^{2} - 2) (y^{2} + 3)}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{x^{2} - 2} \cdot \frac{y}{y^{2} + 3}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{y^{2} + 3}{y}$ .

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 3}{y} (\frac{2 x}{x^{2} - 2} \cdot \frac{y}{y^{2} + 3})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{2 x}{x^{2} - 2}$ por $\frac{y}{y^{2} + 3}$ .

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 3}{y} \cdot \frac{2 x y}{(x^{2} - 2) (y^{2} + 3)}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $y^{2} + 3$ .

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $y^{2} + 3$ de $(x^{2} - 2) (y^{2} + 3)$ .

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 3}{y} \cdot \frac{2 x y}{(y^{2} + 3) (x^{2} - 2)}$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 3}{y} \cdot \frac{2 x y}{(y^{2} + 3) (x^{2} - 2)}$

Paso 1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{2 x y}{x^{2} - 2}$

Paso 1.3.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.3.3.1

Factoriza $y$ de $2 x y$ .

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (2 x)}{x^{2} - 2}$

Paso 1.3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (2 x)}{x^{2} - 2}$

Paso 1.3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{x^{2} - 2}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{y^{2} + 3}{y} d y = \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y^{2} + 3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int \frac{y^{2}}{y} + \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Paso 2.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{y^{2}}{y} d y + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Paso 2.2.3

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 2.2.3.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\int \frac{y \cdot y}{y} d y + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Paso 2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.3.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{y \cdot y}{y^{1}} d y + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Paso 2.2.3.2.2

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$\int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Paso 2.2.3.2.3

Cancela el factor común.

$\int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Paso 2.2.3.2.4

Reescribe la expresión.

$\int \frac{y}{1} d y + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Paso 2.2.3.2.5

Divide $y$ por $1$ .

$\int y d y + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Paso 2.2.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Paso 2.2.5

Dado que $3$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 3 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Paso 2.2.6

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 3 (\ln (| y |) + C_{2}) = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Paso 2.2.7

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = 2 \int \frac{x}{x^{2} - 2} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = x^{2} - 2$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = x^{2} - 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $x^{2} - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 2]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.3.2.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 2.3.2.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 2.3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.5.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.5.3

Multiplica $\int \frac{1}{u} d u$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| u |) + C_{4}$

Paso 2.3.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x^{2} - 2 |) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) = \ln (| x^{2} - 2 |) + C$