Cálculo Ejemplos

$\frac{d v}{d x} = \frac{s + 1}{s v + s}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza $s$ de $s v + s$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $s$ de $s v$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{s + 1}{s (v) + s}$

Paso 1.1.2

Eleva $s$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{s + 1}{s (v) + s^{1}}$

Paso 1.1.3

Factoriza $s$ de $s^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{s + 1}{s (v) + s \cdot 1}$

Paso 1.1.4

Factoriza $s$ de $s (v) + s \cdot 1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{s + 1}{s (v + 1)}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d v}{d x} = \frac{s + 1}{s} \cdot \frac{1}{v + 1}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $v + 1$ .

$(v + 1) \frac{d v}{d x} = (v + 1) (\frac{s + 1}{s} \cdot \frac{1}{v + 1})$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Multiplica $\frac{s + 1}{s}$ por $\frac{1}{v + 1}$ .

$(v + 1) \frac{d v}{d x} = (v + 1) \frac{s + 1}{s (v + 1)}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $v + 1$ .

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Paso 1.4.2.1

Factoriza $v + 1$ de $s (v + 1)$ .

$(v + 1) \frac{d v}{d x} = (v + 1) \frac{s + 1}{(v + 1) s}$

Paso 1.4.2.2

Cancela el factor común.

$(v + 1) \frac{d v}{d x} = (v + 1) \frac{s + 1}{(v + 1) s}$

Paso 1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$(v + 1) \frac{d v}{d x} = \frac{s + 1}{s}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$(v + 1) d v = \frac{s + 1}{s} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int v + 1 d v = \int \frac{s + 1}{s} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int v d v + \int d v = \int \frac{s + 1}{s} d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $v$ con respecto a $v$ es $\frac{1}{2} v^{2}$ .

$\frac{1}{2} v^{2} + C_{1} + \int d v = \int \frac{s + 1}{s} d x$

Paso 2.2.3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} v^{2} + C_{1} + v + C_{2} = \int \frac{s + 1}{s} d x$

Paso 2.2.4

Simplifica.

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = \int \frac{s + 1}{s} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = \int \frac{s}{s} + \frac{1}{s} d x$

Paso 2.3.2

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = (\frac{s}{s} + \frac{1}{s}) x + C_{4}$

Paso 2.3.3

Cancela el factor común de $s$ .

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Paso 2.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = (\frac{s}{s} + \frac{1}{s}) x + C_{4}$

Paso 2.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = (1 + \frac{1}{s}) x + C_{4}$

Paso 2.3.4

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = x (1 + \frac{1}{s}) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} v^{2} + v = x (1 + \frac{1}{s}) + K$