Cálculo Ejemplos

$(1 + e^{2 y}) d x + (2 x e^{2 y}) d y = 0$

Paso 1

Resta $(1 + e^{2 y}) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x e^{2 y} d y = - (1 + e^{2 y}) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x (1 + e^{2 y})}$ .

$\frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (2 x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Paso 3.2

Combina $2$ y $\frac{1}{x (1 + e^{2 y})}$ .

$\frac{2}{x (1 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $x$ de $x e^{2 y}$ .

$\frac{2}{x (1 + e^{2 y})} (x (e^{2 y})) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{2}{x (1 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Paso 3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{1 + e^{2 y}} e^{2 y} d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Paso 3.4

Combina $\frac{2}{1 + e^{2 y}}$ y $e^{2 y}$ .

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Paso 3.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = - \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (1 + e^{2 y}) d x$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $1 + e^{2 y}$ .

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Paso 3.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x (1 + e^{2 y})}$ al numerador.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{- 1}{x (1 + e^{2 y})} (1 + e^{2 y}) d x$

Paso 3.6.2

Factoriza $1 + e^{2 y}$ de $x (1 + e^{2 y})$ .

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{- 1}{(1 + e^{2 y}) x} (1 + e^{2 y}) d x$

Paso 3.6.3

Cancela el factor común.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{- 1}{(1 + e^{2 y}) x} (1 + e^{2 y}) d x$

Paso 3.6.4

Reescribe la expresión.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Paso 3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = - \frac{1}{x} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.2

Sea $u_{2} = 1 + e^{2 y}$ . Entonces $d u_{2} = 2 e^{2 y} d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 y} d y$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.2.2.1

Deja $u_{2} = 1 + e^{2 y}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Diferencia $1 + e^{2 y}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + e^{2 y}]$

Paso 4.2.2.1.2

Diferencia.

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Paso 4.2.2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + e^{2 y}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$

Paso 4.2.2.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$

Paso 4.2.2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ .

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Paso 4.2.2.1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = e^{y}$ y $g (y) = 2 y$ .

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Paso 4.2.2.1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 y$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [2 y]$

Paso 4.2.2.1.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [2 y]$

Paso 4.2.2.1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 y$ .

$0 + e^{2 y} \frac{d}{d y} [2 y]$

Paso 4.2.2.1.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + e^{2 y} (2 \frac{d}{d y} [y])$

Paso 4.2.2.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + e^{2 y} (2 \cdot 1)$

Paso 4.2.2.1.3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$0 + e^{2 y} \cdot 2$

Paso 4.2.2.1.3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 y}$ .

$0 + 2 e^{2 y}$

Paso 4.2.2.1.4

Suma $0$ y $2 e^{2 y}$ .

$2 e^{2 y}$

Paso 4.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.3

Simplifica.

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Paso 4.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.5

Simplifica.

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Paso 4.2.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.5.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.5.3

Multiplica $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ por $1$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.6

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.7

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 + e^{2 y}$ .

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Paso 4.3.3

Simplifica.

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) = - \ln (| x |) + C$