Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x + 2 x y^{2})}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza $x$ de $x + 2 x y^{2}$ .

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Paso 1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x^{1} + 2 x y^{2})}$

Paso 1.1.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x \cdot 1 + 2 x y^{2})}$

Paso 1.1.3

Factoriza $x$ de $2 x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x \cdot 1 + x (2 y^{2}))}$

Paso 1.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x (2 y^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 y (x (1 + 2 y^{2}))}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 x y (1 + 2 y^{2})}$

Paso 1.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})}$

Paso 1.4

Multiplica ambos lados por $y (1 + 2 y^{2})$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = y (1 + 2 y^{2}) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y \cdot 1 + y (2 y^{2})) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

Paso 1.5.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + y (2 y^{2})) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

Paso 1.5.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y \cdot y^{2}) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

Paso 1.5.4

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.4.1

Mueve $y^{2}$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 (y^{2} y)) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

Paso 1.5.4.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 1.5.4.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 (y^{2} y^{1})) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

Paso 1.5.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{2 + 1}) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

Paso 1.5.4.3

Suma $2$ y $1$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) (\frac{x^{2}}{4 x} \cdot \frac{1}{y (1 + 2 y^{2})})$

Paso 1.5.5

Combinar.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x^{2} \cdot 1}{4 x (y (1 + 2 y^{2}))}$

Paso 1.5.6

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x^{2}}{4 x (y (1 + 2 y^{2}))}$

Paso 1.5.7

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 1.5.7.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x \cdot x}{4 x y (1 + 2 y^{2})}$

Paso 1.5.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.7.2.1

Factoriza $x$ de $4 x y (1 + 2 y^{2})$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x \cdot x}{x (4 y (1 + 2 y^{2}))}$

Paso 1.5.7.2.2

Cancela el factor común.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x \cdot x}{x (4 y (1 + 2 y^{2}))}$

Paso 1.5.7.2.3

Reescribe la expresión.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = (y + 2 y^{3}) \frac{x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

Paso 1.5.8

Multiplica $y + 2 y^{3}$ por $\frac{x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 2 y^{3}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

Paso 1.5.9

Factoriza $y$ de $y + 2 y^{3}$ .

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Paso 1.5.9.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{1} + 2 y^{3}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

Paso 1.5.9.2

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot 1 + 2 y^{3}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

Paso 1.5.9.3

Factoriza $y$ de $2 y^{3}$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot 1 + y (2 y^{2})) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

Paso 1.5.9.4

Factoriza $y$ de $y \cdot 1 + y (2 y^{2})$ .

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + 2 y^{2}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

Paso 1.5.10

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.5.10.1

Cancela el factor común.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + 2 y^{2}) x}{4 y (1 + 2 y^{2})}$

Paso 1.5.10.2

Reescribe la expresión.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + 2 y^{2}) x}{4 (1 + 2 y^{2})}$

Paso 1.5.11

Cancela el factor común de $1 + 2 y^{2}$ .

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Paso 1.5.11.1

Cancela el factor común.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + 2 y^{2}) x}{4 (1 + 2 y^{2})}$

Paso 1.5.11.2

Reescribe la expresión.

$y (1 + 2 y^{2}) \frac{d y}{d x} = \frac{x}{4}$

Paso 1.6

Reescribe la ecuación.

$y (1 + 2 y^{2}) d y = \frac{x}{4} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y (1 + 2 y^{2}) d y = \int \frac{x}{4} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica.

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Paso 2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int y \cdot 1 + y (2 y^{2}) d y = \int \frac{x}{4} d x$

Paso 2.2.1.2

Reordena $y$ y $1$ .

$\int 1 \cdot y + y (2 y^{2}) d y = \int \frac{x}{4} d x$

Paso 2.2.1.3

Reordena $y$ y $2$ .

$\int 1 \cdot y + 2 \cdot y \cdot y^{2} d y = \int \frac{x}{4} d x$

Paso 2.2.1.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$\int y + 2 y \cdot y^{2} d y = \int \frac{x}{4} d x$

Paso 2.2.1.5

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\int y + 2 (y^{1} y^{2}) d y = \int \frac{x}{4} d x$

Paso 2.2.1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int y + 2 y^{1 + 2} d y = \int \frac{x}{4} d x$

Paso 2.2.1.7

Suma $1$ y $2$ .

$\int y + 2 y^{3} d y = \int \frac{x}{4} d x$

Paso 2.2.1.8

Reordena $y$ y $2 y^{3}$ .

$\int 2 y^{3} + y d y = \int \frac{x}{4} d x$

Paso 2.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 2 y^{3} d y + \int y d y = \int \frac{x}{4} d x$

Paso 2.2.3

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int y^{3} d y + \int y d y = \int \frac{x}{4} d x$

Paso 2.2.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} y^{4} + C_{1}) + \int y d y = \int \frac{x}{4} d x$

Paso 2.2.5

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{4} y^{4} + C_{1}) + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int \frac{x}{4} d x$

Paso 2.2.6

Simplifica.

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Paso 2.2.6.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $y^{4}$ .

$2 (\frac{y^{4}}{4} + C_{1}) + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int \frac{x}{4} d x$

Paso 2.2.6.2

Simplifica.

$\frac{y^{4}}{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x}{4} d x$

Paso 2.2.6.3

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x}{4} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{4} \int x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $\frac{1}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ como $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{4 \cdot 2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.3.2.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{8} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{8} x^{2} + K$