Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} x \sqrt{1 - 16 y^{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\sqrt{1 - 16 y^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - 16 y^{2}}} (\frac{1}{2} x \sqrt{1 - 16 y^{2}})$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - 16 y^{2}}} (x \sqrt{1 - 16 y^{2}})$

Paso 1.2.2

Combinar.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{2 \sqrt{1 - 16 y^{2}}} (x \sqrt{1 - 16 y^{2}})$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de $\sqrt{1 - 16 y^{2}}$ .

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Paso 1.2.3.1

Factoriza $\sqrt{1 - 16 y^{2}}$ de $2 \sqrt{1 - 16 y^{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\sqrt{1 - 16 y^{2}} \cdot 2} (x \sqrt{1 - 16 y^{2}})$

Paso 1.2.3.2

Factoriza $\sqrt{1 - 16 y^{2}}$ de $x \sqrt{1 - 16 y^{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\sqrt{1 - 16 y^{2}} \cdot 2} (\sqrt{1 - 16 y^{2}} x)$

Paso 1.2.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\sqrt{1 - 16 y^{2}} \cdot 2} (\sqrt{1 - 16 y^{2}} x)$

Paso 1.2.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{2} x$

Paso 1.2.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} x$

Paso 1.2.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{2}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 16 y^{2}}} d y = \frac{x}{2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - 16 y^{2}}} d y = \int \frac{x}{2} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Escribe la expresión usando exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - 16 y^{2}}} d y = \int \frac{x}{2} d x$

Paso 2.2.1.2

Reescribe $16 y^{2}$ como ${(4 y)}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(4 y)}^{2}}} d y = \int \frac{x}{2} d x$

Paso 2.2.2

Sea $u = 4 y$ . Entonces $d u = 4 d y$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.2.1

Deja $u = 4 y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Diferencia $4 y$ .

$\frac{d}{d y} [4 y]$

Paso 2.2.2.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $4 y$ con respecto a $y$ es $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$4 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 2.2.2.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 2.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{4} d u = \int \frac{x}{2} d x$

Paso 2.2.3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u = \int \frac{x}{2} d x$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ con respecto a $u$ es $\arcsin (u)$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (u) + C_{1}) = \int \frac{x}{2} d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{4} \arcsin (u) + C_{1} = \int \frac{x}{2} d x$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 y$ .

$\frac{1}{4} \arcsin (4 y) + C_{1} = \int \frac{x}{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \arcsin (4 y) + C_{1} = \frac{1}{2} \int x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} \arcsin (4 y) + C_{1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{4} \arcsin (4 y) + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} \arcsin (4 y) + C_{1} = \frac{1}{2 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} \arcsin (4 y) + C_{1} = \frac{1}{4} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{4} \arcsin (4 y) = \frac{1}{4} x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{4} \arcsin (4 y) = \frac{1}{4} x^{2} + K$ por $4$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{4} \arcsin (4 y) = \frac{1}{4} x^{2} + K$ por $4$ .

$\frac{1}{4} \arcsin (4 y) \cdot 4 = \frac{1}{4} x^{2} \cdot 4 + K \cdot 4$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $\arcsin (4 y)$ .

$\frac{\arcsin (4 y)}{4} \cdot 4 = \frac{1}{4} x^{2} \cdot 4 + K \cdot 4$

Paso 3.1.2.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\arcsin (4 y)}{4} \cdot 4 = \frac{1}{4} x^{2} \cdot 4 + K \cdot 4$

Paso 3.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\arcsin (4 y) = \frac{1}{4} x^{2} \cdot 4 + K \cdot 4$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{2}$ .

$\arcsin (4 y) = \frac{x^{2}}{4} \cdot 4 + K \cdot 4$

Paso 3.1.3.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.1.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$\arcsin (4 y) = \frac{x^{2}}{4} \cdot 4 + K \cdot 4$

Paso 3.1.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\arcsin (4 y) = x^{2} + K \cdot 4$

Paso 3.1.3.1.3

Mueve $4$ a la izquierda de $K$ .

$\arcsin (4 y) = x^{2} + 4 K$

Paso 3.2

Calcula la inversa del arcoseno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior del arcoseno.

$4 y = \sin (x^{2} + 4 K)$

Paso 3.3

Divide cada término en $4 y = \sin (x^{2} + 4 K)$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $4 y = \sin (x^{2} + 4 K)$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{\sin (x^{2} + 4 K)}{4}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\sin (x^{2} + 4 K)}{4}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\sin (x^{2} + 4 K)}{4}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\sin (x^{2} + K)}{4}$