Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x}) = x + y \sin^{2} (\frac{y}{x})$

Paso 1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x}) = x + y \sin^{2} (\frac{y}{x})$ por $x \sin^{2} (\frac{y}{x})$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x}) = x + y \sin^{2} (\frac{y}{x})$ por $x \sin^{2} (\frac{y}{x})$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Paso 1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común de $\sin^{2} (\frac{y}{x})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin^{2} (\frac{y}{x})}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Paso 1.2.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Paso 1.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Paso 1.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Paso 1.3.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Paso 1.3.1.3

Reescribe $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (\frac{y}{x})}$ como ${(\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})})}^{2} + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Paso 1.3.1.4

Convierte de $\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})}$ a $\csc (\frac{y}{x})$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Paso 1.3.1.5

Cancela el factor común de $\sin^{2} (\frac{y}{x})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin^{2} (\frac{y}{x})}{x \sin^{2} (\frac{y}{x})}$

Paso 1.3.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (\frac{y}{x}) + \frac{y}{x}$

Paso 2

Sea $V = \frac{y}{x}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (V) + V$

Paso 3

Resuelve $V = \frac{y}{x}$ en $y$ .

$y = V x$

Paso 4

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V x$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Paso 5

Sustituye $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \csc^{2} (V) + V$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Separa las variables.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d x}$

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d V}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1.1.1

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V) + V - V$

Paso 6.1.1.1.2

Combina los términos opuestos en $\csc^{2} (V) + V - V$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1.1.2.1

Resta $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V) + 0$

Paso 6.1.1.1.2.2

Suma $\csc^{2} (V)$ y $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V)$

Paso 6.1.1.2

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V)$ por $x$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1.2.1

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \csc^{2} (V)$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

Paso 6.1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

Paso 6.1.1.2.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

Paso 6.1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\csc^{2} (V)}$ .

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\csc^{2} (V)} \cdot \frac{\csc^{2} (V)}{x}$

Paso 6.1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.3.1

Combinar.

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \csc^{2} (V)}{\csc^{2} (V) x}$

Paso 6.1.3.2

Cancela el factor común de $\csc^{2} (V)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \csc^{2} (V)}{\csc^{2} (V) x}$

Paso 6.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 6.1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\csc^{2} (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\csc^{2} (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2

Integra el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1^{2}}{\csc^{2} (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.1.2

Reescribe $\frac{1^{2}}{\csc^{2} (V)}$ como ${(\frac{1}{\csc (V)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{1}{\csc (V)})}^{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.1.3

Reescribe $\csc (V)$ en términos de senos y cosenos.

$\int {(\frac{1}{\frac{1}{\sin (V)}})}^{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.1.4

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\sin (V)}$ .

$\int {(1 \sin (V))}^{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.1.5

Multiplica $\sin (V)$ por $1$ .

$\int \sin^{2} (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.2

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\sin^{2} (V)$ como $\frac{1 - \cos (2 V)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 V)}{2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $V$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (\int d V + \int - \cos (2 V) d V) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.5

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (V + C_{1} + \int - \cos (2 V) d V) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $V$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \int \cos (2 V) d V) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.7

Sea $u = 2 V$ . Entonces $d u = 2 d V$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d V$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.7.1

Deja $u = 2 V$ . Obtén $\frac{d u}{d V}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.7.1.1

Diferencia $2 V$ .

$\frac{d}{d V} [2 V]$

Paso 6.2.2.7.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $V$ , la derivada de $2 V$ con respecto a $V$ es $2 \frac{d}{d V} [V]$ .

$2 \frac{d}{d V} [V]$

Paso 6.2.2.7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ es $n V^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 6.2.2.7.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 6.2.2.7.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.8

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \int \frac{\cos (u)}{2} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.9

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.10

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.11

Simplifica.

$\frac{1}{2} (V - \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 V$ .

$\frac{1}{2} (V - \frac{1}{2} \sin (2 V)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.13

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.13.1

Combina $\sin (2 V)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (V - \frac{\sin (2 V)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.13.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} V + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 V)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.13.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $V$ .

$\frac{V}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 V)}{2}) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.13.4

Multiplica $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 V)}{2})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.13.4.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (2 V)}{2}$ .

$\frac{V}{2} - \frac{\sin (2 V)}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.13.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{V}{2} - \frac{\sin (2 V)}{4} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.14

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} V - \frac{1}{4} \sin (2 V) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} V - \frac{1}{4} \sin (2 V) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 6.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} V - \frac{1}{4} \sin (2 V) = \ln (| x |) + C$

Paso 7

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - \frac{1}{4} \sin (2 \frac{y}{x}) = \ln (| x |) + C$

Paso 8

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{2 x} - \frac{1}{4} \sin (2 \frac{y}{x}) = \ln (| x |) + C$

Paso 8.1.2

Combina $2$ y $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{2 x} - \frac{1}{4} \sin (\frac{2 y}{x}) = \ln (| x |) + C$

Paso 8.1.3

Combina $\sin (\frac{2 y}{x})$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{y}{2 x} - \frac{\sin (\frac{2 y}{x})}{4} = \ln (| x |) + C$