Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sec (\frac{y}{x}) + y}{x}$

Paso 1

Divide $\frac{x \sec (\frac{y}{x}) + y}{x}$ y simplifica.

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Paso 1.1

Divide la fracción $\frac{x \sec (\frac{y}{x}) + y}{x}$ en dos fracciones.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sec (\frac{y}{x})}{x} + \frac{y}{x}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sec (\frac{y}{x})}{x} + \frac{y}{x}$

Paso 1.2.2

Divide $\sec (\frac{y}{x})$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (\frac{y}{x}) + \frac{y}{x}$

Paso 2

Sea $V = \frac{y}{x}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (V) + V$

Paso 3

Resuelve $V = \frac{y}{x}$ en $y$ .

$y = V x$

Paso 4

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V x$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Paso 5

Sustituye $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \sec (V) + V$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 6.1

Separa las variables.

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Paso 6.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d x}$

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Paso 6.1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d V}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.1.1.1.1

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d V}{d x} = \sec (V) + V - V$

Paso 6.1.1.1.2

Combina los términos opuestos en $\sec (V) + V - V$ .

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Paso 6.1.1.1.2.1

Resta $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sec (V) + 0$

Paso 6.1.1.1.2.2

Suma $\sec (V)$ y $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sec (V)$

Paso 6.1.1.2

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \sec (V)$ por $x$ y simplifica.

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Paso 6.1.1.2.1

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \sec (V)$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sec (V)}{x}$

Paso 6.1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sec (V)}{x}$

Paso 6.1.1.2.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sec (V)}{x}$

Paso 6.1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\sec (V)}$ .

$\frac{1}{\sec (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sec (V)} \cdot \frac{\sec (V)}{x}$

Paso 6.1.3

Cancela el factor común de $\sec (V)$ .

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Paso 6.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sec (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sec (V)} \cdot \frac{\sec (V)}{x}$

Paso 6.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sec (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 6.1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\sec (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2

Integra ambos lados.

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Paso 6.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\sec (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica.

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Paso 6.2.2.1.1

Reescribe $\sec (V)$ en términos de senos y cosenos.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\cos (V)}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.1.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (V)}$ .

$\int 1 \cos (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.1.3

Multiplica $\cos (V)$ por $1$ .

$\int \cos (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.2

La integral de $\cos (V)$ con respecto a $V$ es $\sin (V)$ .

$\sin (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\sin (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 6.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\sin (V) = \ln (| x |) + C$

Paso 6.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $V$ del interior de seno.

$V = \arcsin (\ln (| x |) + C)$

Paso 7

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \arcsin (\ln (| x |) + C)$

Paso 8

Resuelve $\frac{y}{x} = \arcsin (\ln (| x |) + C)$ en $y$ .

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Paso 8.1

Multiplica ambos lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = \arcsin (\ln (| x |) + C) x$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x} x = \arcsin (\ln (| x |) + C) x$

Paso 8.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = \arcsin (\ln (| x |) + C) x$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.2.1

Reordena los factores en $\arcsin (\ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \arcsin (\ln (| x |) + C)$