Cálculo Ejemplos

$x^{2} (y + 1) d y - (x + 1) (y d) x = 0$

Paso 1

Suma $(x + 1) y d x$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} (y + 1) d y = (x + 1) y d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x^{2} y}$ .

$\frac{1}{x^{2} y} (x^{2} (y + 1)) d y = \frac{1}{x^{2} y} ((x + 1) y) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} y$ .

$\frac{1}{x^{2} (y)} (x^{2} (y + 1)) d y = \frac{1}{x^{2} y} ((x + 1) y) d x$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x^{2} y} (x^{2} (y + 1)) d y = \frac{1}{x^{2} y} ((x + 1) y) d x$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} (y + 1) d y = \frac{1}{x^{2} y} ((x + 1) y) d x$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{1}{y}$ por $y + 1$ .

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{1}{x^{2} y} ((x + 1) y) d x$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{1}{y x^{2}} ((x + 1) y) d x$

Paso 3.3.2

Factoriza $y$ de $(x + 1) y$ .

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{1}{y x^{2}} (y (x + 1)) d x$

Paso 3.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{1}{y x^{2}} (y (x + 1)) d x$

Paso 3.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{1}{x^{2}} (x + 1) d x$

Paso 3.4

Multiplica $\frac{1}{x^{2}}$ por $x + 1$ .

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y + 1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int \frac{y}{y} + \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Paso 4.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Paso 4.2.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 4.2.3.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Paso 4.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\int d y + \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Paso 4.2.4

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} + \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Paso 4.2.5

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$y + C_{1} + \ln (| y |) + C_{2} = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Paso 4.2.6

Simplifica.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.3.1.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 4.3.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 4.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int (x + 1) x^{- 2} d x$

Paso 4.3.2

Multiplica $(x + 1) x^{- 2}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Paso 4.3.3

Simplifica.

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Paso 4.3.3.1

Multiplica $x$ por $x^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.3.1.1

Multiplica $x$ por $x^{- 2}$ .

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Paso 4.3.3.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{1} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Paso 4.3.3.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{1 - 2} + 1 x^{- 2} d x$

Paso 4.3.3.1.2

Resta $2$ de $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x$

Paso 4.3.3.2

Multiplica $x^{- 2}$ por $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 1} + x^{- 2} d x$

Paso 4.3.4

Divide la única integral en varias integrales.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x$

Paso 4.3.5

La integral de $x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + \int x^{- 2} d x$

Paso 4.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} - x^{- 1} + C_{5}$

Paso 4.3.7

Simplifica.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C_{6}$

Paso 4.3.8

Reordena los términos.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{6}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y + \ln (| y |) = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C$