Cálculo Ejemplos

$2 x^{2} (y d) x + (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 x^{2} y$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y]$

Paso 1.2

Como $2 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x^{2} y$ con respecto a $y$ es $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \cdot 1$

Paso 1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2}$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 3 x^{3} + y^{3}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{3} + y^{3}]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{3} + y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{3}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.3.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $y^{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y^{3}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 x^{2} + 0$

Paso 2.4.2

Suma $9 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 x^{2}$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $2 x^{2}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $9 x^{2}$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x^{2} = 9 x^{2}$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$2 x^{2} = 9 x^{2}$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $9 x^{2}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{9 x^{2} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 4.2

Sustituye $2 x^{2}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{9 x^{2} - (2 x^{2})}{M}$

Paso 4.3

Sustituye $2 x^{2} y$ por $M$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $2 x^{2} y$ por $M$ .

$\frac{9 x^{2} - (2 x^{2})}{2 x^{2} y}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $9 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2}$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $9 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 9 - 1 \cdot 2 x^{2}}{2 x^{2} y}$

Paso 4.3.2.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 1 \cdot 2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 9 + x^{2} (- 1 \cdot 2)}{2 x^{2} y}$

Paso 4.3.2.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} \cdot 9 + x^{2} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x^{2} (9 - 1 \cdot 2)}{2 x^{2} y}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{2} (9 - 2)}{2 x^{2} y}$

Paso 4.3.2.3

Resta $2$ de $9$ .

$\frac{x^{2} \cdot 7}{2 x^{2} y}$

Paso 4.3.3

Sustituye $2 x^{2} y$ por $M$ .

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Paso 4.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} \cdot 7}{2 x^{2} y}$

Paso 4.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{7}{2 y}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{7}{2 y} d y}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int \frac{7}{2 y} d y}$ .

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Paso 5.1

Dado que $\frac{7}{2}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{7}{2}$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{\frac{7}{2} \int \frac{1}{y} d y}$

Paso 5.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{7}{2} (\ln (| y |) + C)}$

Paso 5.3

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{\frac{7}{2} \ln (| y |)} + C$

Paso 5.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1

Simplifica $\frac{7}{2} \ln (| y |)$ al mover $\frac{7}{2}$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{\frac{7}{2}})} + C$

Paso 5.4.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{7}{2}} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $2 x^{2} y d x + (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$ por el factor integrador $y^{\frac{7}{2}}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $2 x^{2} y$ por $y^{\frac{7}{2}}$ .

$2 x^{2} y \cdot y^{\frac{7}{2}} d x + (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Paso 6.2

Multiplica $y$ por $y^{\frac{7}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1

Mueve $y^{\frac{7}{2}}$ .

$2 x^{2} (y^{\frac{7}{2}} y) d x + (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Paso 6.2.2

Multiplica $y^{\frac{7}{2}}$ por $y$ .

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Paso 6.2.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$2 x^{2} (y^{\frac{7}{2}} y^{1}) d x + (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Paso 6.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{2} y^{\frac{7}{2} + 1} d x + (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Paso 6.2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$2 x^{2} y^{\frac{7}{2} + \frac{2}{2}} d x + (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Paso 6.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x^{2} y^{\frac{7 + 2}{2}} d x + (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Paso 6.2.5

Suma $7$ y $2$ .

$2 x^{2} y^{\frac{9}{2}} d x + (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Paso 6.3

Multiplica $3 x^{3} + y^{3}$ por $y^{\frac{7}{2}}$ .

$2 x^{2} y^{\frac{9}{2}} d x + (3 x^{3} + y^{3}) y^{\frac{7}{2}} d y = 0$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} y^{\frac{9}{2}} d x + (3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{3} y^{\frac{7}{2}}) d y = 0$

Paso 6.5

Multiplica $y^{3}$ por $y^{\frac{7}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.5.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{2} y^{\frac{9}{2}} d x + (3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{3 + \frac{7}{2}}) d y = 0$

Paso 6.5.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{2} y^{\frac{9}{2}} d x + (3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2}}) d y = 0$

Paso 6.5.3

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{2} y^{\frac{9}{2}} d x + (3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{7}{2}}) d y = 0$

Paso 6.5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x^{2} y^{\frac{9}{2}} d x + (3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{3 \cdot 2 + 7}{2}}) d y = 0$

Paso 6.5.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.5.5.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$2 x^{2} y^{\frac{9}{2}} d x + (3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{6 + 7}{2}}) d y = 0$

Paso 6.5.5.2

Suma $6$ y $7$ .

$2 x^{2} y^{\frac{9}{2}} d x + (3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}) d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x^{2} y^{\frac{9}{2}} d x$

Paso 8

Integra $M (x, y) = 2 x^{2} y^{\frac{9}{2}}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Dado que $2 y^{\frac{9}{2}}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2 y^{\frac{9}{2}}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 2 y^{\frac{9}{2}} \int x^{2} d x$

Paso 8.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 2 y^{\frac{9}{2}} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Paso 8.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.3.1

Reescribe $2 y^{\frac{9}{2}} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ como $2 y^{\frac{9}{2}} \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$f (x, y) = 2 y^{\frac{9}{2}} \frac{1}{3} x^{3} + C$

Paso 8.3.2

Simplifica.

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Paso 8.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = y^{\frac{9}{2}} \frac{2}{3} x^{3} + C$

Paso 8.3.2.2

Combina $y^{\frac{9}{2}}$ y $\frac{2}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{\frac{9}{2}} \cdot 2}{3} x^{3} + C$

Paso 8.3.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{\frac{9}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot y^{\frac{9}{2}}}{3} x^{3} + C$

Paso 8.3.2.4

Multiplica $2$ por $y^{\frac{9}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{\frac{9}{2}}}{3} x^{3} + C$

Paso 8.3.2.5

Combina $\frac{2 y^{\frac{9}{2}}}{3}$ y $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{\frac{9}{2}} x^{3}}{3} + C$

Paso 8.3.3

Reordena los términos.

$f (x, y) = \frac{2}{3} y^{\frac{9}{2}} x^{3} + C$

Paso 9

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{2}{3} y^{\frac{9}{2}} x^{3} + g (y)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{2}{3} y^{\frac{9}{2}} x^{3} + g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{2}{3} y^{\frac{9}{2}} x^{3} + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{2}{3} y^{\frac{9}{2}} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{2}{3} y^{\frac{9}{2}} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{2}{3} y^{\frac{9}{2}} x^{3}]$ .

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Paso 11.3.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $y^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{2 y^{\frac{9}{2}}}{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Paso 11.3.2

Combina $\frac{2 y^{\frac{9}{2}}}{3}$ y $x^{3}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{2 y^{\frac{9}{2}} x^{3}}{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Paso 11.3.3

Como $\frac{2 x^{3}}{3}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{2 y^{\frac{9}{2}} x^{3}}{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{2 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{9}{2}}]$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{9}{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Paso 11.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = \frac{9}{2}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Paso 11.3.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Paso 11.3.6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Paso 11.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x^{3}}{3} (\frac{9}{2} y^{\frac{9 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Paso 11.3.8

Simplifica el numerador.

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Paso 11.3.8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (\frac{9}{2} y^{\frac{9 - 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Paso 11.3.8.2

Resta $2$ de $9$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (\frac{9}{2} y^{\frac{7}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Paso 11.3.9

Combina $\frac{9}{2}$ y $y^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} \cdot \frac{9 y^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Paso 11.3.10

Multiplica $\frac{2 x^{3}}{3}$ por $\frac{9 y^{\frac{7}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 x^{3} (9 y^{\frac{7}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Paso 11.3.11

Multiplica $9$ por $2$ .

$\frac{18 x^{3} y^{\frac{7}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Paso 11.3.12

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{18 x^{3} y^{\frac{7}{2}}}{6} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Paso 11.3.13

Factoriza $6$ de $18 x^{3} y^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{6 (3 x^{3} y^{\frac{7}{2}})}{6} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Paso 11.3.14

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.3.14.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$\frac{6 (3 x^{3} y^{\frac{7}{2}})}{6 (1)} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Paso 11.3.14.2

Cancela el factor común.

$\frac{6 (3 x^{3} y^{\frac{7}{2}})}{6 \cdot 1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Paso 11.3.14.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 x^{3} y^{\frac{7}{2}}}{1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Paso 11.3.14.4

Divide $3 x^{3} y^{\frac{7}{2}}$ por $1$ .

$3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Paso 11.5

Simplifica.

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Paso 11.5.1

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{\frac{7}{2}} x^{3} = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Paso 11.5.2

Reordena los factores en $\frac{d g}{d y} + 3 y^{\frac{7}{2}} x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} = 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} + y^{\frac{13}{2}}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 12.1

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 12.1.1

Combina los términos opuestos en $\frac{d g}{d y} + 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} - 3 x^{3} y^{\frac{7}{2}} - y^{\frac{13}{2}}$ .

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Paso 12.1.1.1

Resta $3 x^{3} y^{\frac{7}{2}}$ de $3 x^{3} y^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 - y^{\frac{13}{2}} = 0$

Paso 12.1.1.2

Suma $\frac{d g}{d y}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} - y^{\frac{13}{2}} = 0$

Paso 12.1.2

Suma $y^{\frac{13}{2}}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = y^{\frac{13}{2}}$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $y^{\frac{13}{2}}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = y^{\frac{13}{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{\frac{13}{2}} d y$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{\frac{13}{2}} d y$

Paso 13.3

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{\frac{13}{2}}$ con respecto a $y$ es $\frac{2}{15} y^{\frac{15}{2}}$ .

$g (y) = \frac{2}{15} y^{\frac{15}{2}} + C$

Paso 14

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = \frac{2}{3} y^{\frac{9}{2}} x^{3} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{2}{3} y^{\frac{9}{2}} x^{3} + \frac{2}{15} y^{\frac{15}{2}} + C$

Paso 15

Simplifica $f (x, y) = \frac{2}{3} y^{\frac{9}{2}} x^{3} + \frac{2}{15} y^{\frac{15}{2}} + C$ .

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Paso 15.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.1.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $y^{\frac{9}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{\frac{9}{2}}}{3} x^{3} + \frac{2}{15} y^{\frac{15}{2}} + C$

Paso 15.1.2

Combina $\frac{2 y^{\frac{9}{2}}}{3}$ y $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{\frac{9}{2}} x^{3}}{3} + \frac{2}{15} y^{\frac{15}{2}} + C$

Paso 15.1.3

Combina $\frac{2}{15}$ y $y^{\frac{15}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{\frac{9}{2}} x^{3}}{3} + \frac{2 y^{\frac{15}{2}}}{15} + C$

Paso 15.2

Reordena los factores en $f (x, y) = \frac{2 y^{\frac{9}{2}} x^{3}}{3} + \frac{2 y^{\frac{15}{2}}}{15} + C$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{3} y^{\frac{9}{2}}}{3} + \frac{2 y^{\frac{15}{2}}}{15} + C$