Cálculo Ejemplos

$(x^{2} + y^{2}) d y + 2 x y d x = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

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Paso 1.1

Reescribe.

$2 x y d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 x y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y]$

Paso 2.2

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $y$ es $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x^{2} + y^{2}$ .

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Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.4

Como $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0$

Paso 3.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $2 x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2 x$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x = 2 x$

Paso 4.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$2 x = 2 x$ es una identidad.

Paso 5

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y d x$

Paso 6

Integra $M (x, y) = 2 x y$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 6.1

Dado que $2 y$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2 y$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 2 y \int x d x$

Paso 6.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 6.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.3.1

Reescribe $2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $2 y \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = 2 y \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 6.3.2

Simplifica.

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Paso 6.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = y \frac{2}{2} x^{2} + C$

Paso 6.3.2.2

Combina $y$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y \cdot 2}{2} x^{2} + C$

Paso 6.3.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot y}{2} x^{2} + C$

Paso 6.3.2.4

Multiplica $2$ por $y$ .

$f (x, y) = \frac{2 y}{2} x^{2} + C$

Paso 6.3.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.5.1

Cancela el factor común.

$f (x, y) = \frac{2 y}{2} x^{2} + C$

Paso 6.3.2.5.2

Divide $y$ por $1$ .

$f (x, y) = y x^{2} + C$

Paso 7

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{2} + g (y)$

Paso 8

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} + y^{2}$

Paso 9

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 9.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{2} + g (y)] = x^{2} + y^{2}$

Paso 9.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y x^{2} + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + y^{2}$

Paso 9.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [y x^{2}]$ .

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Paso 9.3.1

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y x^{2}$ con respecto a $y$ es $x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + y^{2}$

Paso 9.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + y^{2}$

Paso 9.3.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + y^{2}$

Paso 9.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} + \frac{d g}{d y} = x^{2} + y^{2}$

Paso 9.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} = x^{2} + y^{2}$

Paso 10

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 10.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.1.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} + y^{2} - x^{2}$

Paso 10.1.2

Combina los términos opuestos en $x^{2} + y^{2} - x^{2}$ .

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Paso 10.1.2.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + 0$

Paso 10.1.2.2

Suma $y^{2}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{2}$

Paso 11

Obtén la antiderivada de $y^{2}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 11.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{2} d y$

Paso 11.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{2} d y$

Paso 11.3

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = \frac{1}{3} y^{3} + C$

Paso 12

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = y x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Paso 13

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{y^{3}}{3} + C$