Cálculo Ejemplos

$x^{2} \frac{d y}{d x} - y \sqrt{x} = 0$

Paso 1

Separa las variables.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Suma $y \sqrt{x}$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{x}$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $x^{2} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{x}$ por $x^{2}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $x^{2} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{x}$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y \sqrt{x}}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y \sqrt{x}}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sqrt{x}}{x^{2}}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{\sqrt{x}}{x^{2}})$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{\sqrt{x}}{x^{2}})$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sqrt{x} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 2.3.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sqrt{x} x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 2.3.1.2.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sqrt{x} x^{- 2} d x$

Paso 2.3.1.2.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} x^{- 2} d x$

Paso 2.3.1.2.3

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{- 2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.2.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} - 2} d x$

Paso 2.3.1.2.3.2

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Paso 2.3.1.2.3.3

Combina $- 2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}} d x$

Paso 2.3.1.2.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1 - 2 \cdot 2}{2}} d x$

Paso 2.3.1.2.3.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.2.3.5.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1 - 4}{2}} d x$

Paso 2.3.1.2.3.5.2

Resta $4$ de $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Paso 2.3.1.2.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1

Reescribe $- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C_{2}$ como $- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| y |) = - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C} = | y |$

Paso 3.3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| y | = e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$

Paso 3.3.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Reescribe $e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C}$ como $e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}} e^{C}$

Paso 4.2

Reordena $e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$