Cálculo Ejemplos

$y d x = (y e^{y} - 2 x) d y$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

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Paso 1.1

Resta $(y e^{y} - 2 x) d y$ de ambos lados de la ecuación.

$y d x - (y e^{y} - 2 x) d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = - (y e^{y} - 2 x)$ .

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Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (y e^{y} - 2 x)]$

Paso 3.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- (y e^{y} - 2 x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y e^{y} - 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [y e^{y} - 2 x]$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $y e^{y} - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [y e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Paso 3.4

Como $y e^{y}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y e^{y}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Paso 3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 3.6

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.7

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot 1$

Paso 3.9

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 2$

Paso 4.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$1 = 2$ no es una identidad.

Paso 5

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 5.1

Sustituye $2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 5.2

Sustituye $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 - 1}{M}$

Paso 5.3

Sustituye $y$ por $M$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye $y$ por $M$ .

$\frac{2 - 1}{y}$

Paso 5.3.2

Sustituye $y$ por $M$ .

$\frac{1}{y}$

Paso 5.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Paso 6

Evalúa la integral $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

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Paso 6.1

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Paso 6.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.2.1

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Paso 6.2.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = | y | + C$

Paso 7

Multiplica ambos lados de $y d x - (y e^{y} - 2 x) d y = 0$ por el factor integrador $y$ .

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Paso 7.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$y \cdot y d x - (y e^{y} - 2 x) d y = 0$

Paso 7.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$y^{2} d x - (y e^{y} - 2 x) d y = 0$

Paso 7.3

Multiplica $- (y e^{y} - 2 x)$ por $y$ .

$y^{2} d x - (y e^{y} - 2 x) y d y = 0$

Paso 7.4

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} d x + (- (y e^{y}) - (- 2 x)) y d y = 0$

Paso 7.5

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$y^{2} d x + (- y e^{y} + 2 x) y d y = 0$

Paso 7.6

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} d x + (- y e^{y} y + 2 x y) d y = 0$

Paso 7.7

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 7.7.1

Mueve $y$ .

$y^{2} d x + (- (y \cdot y) e^{y} + 2 x y) d y = 0$

Paso 7.7.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$y^{2} d x + (- y^{2} e^{y} + 2 x y) d y = 0$

Paso 8

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} d x$

Paso 9

Integra $M (x, y) = y^{2}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 9.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = y^{2} x + C$

Paso 10

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} x + g (y)$

Paso 11

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

Paso 12

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 12.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} x + g (y)] = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

Paso 12.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} x + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

Paso 12.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

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Paso 12.3.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y^{2} x$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

Paso 12.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

Paso 12.3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

Paso 12.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$2 x y + \frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

Paso 12.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = - y^{2} e^{y} + 2 x y$

Paso 13

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 13.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 13.1.1

Resta $2 x y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y} + 2 x y - 2 x y$

Paso 13.1.2

Combina los términos opuestos en $- y^{2} e^{y} + 2 x y - 2 x y$ .

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Paso 13.1.2.1

Resta $2 x y$ de $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y} + 0$

Paso 13.1.2.2

Suma $- y^{2} e^{y}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y}$

Paso 14

Obtén la antiderivada de $- y^{2} e^{y}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 14.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = - y^{2} e^{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y^{2} e^{y} d y$

Paso 14.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y^{2} e^{y} d y$

Paso 14.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (y) = - \int y^{2} e^{y} d y$

Paso 14.4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = y^{2}$ y $d v = e^{y}$ .

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - \int e^{y} (2 y) d y)$

Paso 14.5

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - (2 \int e^{y} (y) d y))$

Paso 14.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - 2 \int e^{y} (y) d y)$

Paso 14.7

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = y$ y $d v = e^{y}$ .

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - 2 (y e^{y} - \int e^{y} d y))$

Paso 14.8

La integral de $e^{y}$ con respecto a $y$ es $e^{y}$ .

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - 2 (y e^{y} - (e^{y} + C)))$

Paso 14.9

Simplifica la respuesta.

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Paso 14.9.1

Reescribe $- (y^{2} e^{y} - 2 (y e^{y} - (e^{y} + C)))$ como $- (y^{2} e^{y} - 2 y e^{y} + 2 e^{y}) + C$ .

$g (y) = - (y^{2} e^{y} - 2 y e^{y} + 2 e^{y}) + C$

Paso 14.9.2

Simplifica.

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Paso 14.9.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$g (y) = - (y^{2} e^{y}) - (- 2 y e^{y}) - (2 e^{y}) + C$

Paso 14.9.2.2

Simplifica.

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Paso 14.9.2.2.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$g (y) = - y^{2} e^{y} + 2 (y e^{y}) - (2 e^{y}) + C$

Paso 14.9.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$g (y) = - y^{2} e^{y} + 2 (y e^{y}) - 2 e^{y} + C$

$g (y) = - y^{2} e^{y} + 2 y e^{y} - 2 e^{y} + C$

Paso 15

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = y^{2} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} x - y^{2} e^{y} + 2 y e^{y} - 2 e^{y} + C$