Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = e^{x} e^{y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{e^{y}}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{x} e^{y})$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $e^{y}$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $e^{y}$ de $e^{x} e^{y}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} (e^{x - y} e^{y}))$

Paso 1.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} (e^{x - y} e^{y}))$

Paso 1.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = e^{x - y} e^{y}$

Paso 1.2.2

Multiplica $e^{x - y}$ por $e^{y}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = e^{x - y + y}$

Paso 1.2.2.2

Combina los términos opuestos en $x - y + y$ .

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Paso 1.2.2.2.1

Suma $- y$ y $y$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = e^{x + 0}$

Paso 1.2.2.2.2

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = e^{x}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{e^{y}} d y = e^{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{e^{y}} d y = \int e^{x} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1.1

Niega el exponente de $e^{y}$ y quítalo del denominador.

$\int 1 {(e^{y})}^{- 1} d y = \int e^{x} d x$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{y})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{y \cdot - 1} d y = \int e^{x} d x$

Paso 2.2.1.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot y} d y = \int e^{x} d x$

Paso 2.2.1.2.1.3

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$\int 1 e^{- y} d y = \int e^{x} d x$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $e^{- y}$ por $1$ .

$\int e^{- y} d y = \int e^{x} d x$

Paso 2.2.2

Sea $u = - y$ . Entonces $d u = - d y$ , de modo que $- d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.2.1

Deja $u = - y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Diferencia $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Paso 2.2.2.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 2.2.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int - e^{u} d u = \int e^{x} d x$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int e^{u} d u = \int e^{x} d x$

Paso 2.2.4

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C_{1}) = \int e^{x} d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$- e^{u} + C_{1} = \int e^{x} d x$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- y$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \int e^{x} d x$

Paso 2.3

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = e^{x} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- e^{- y} = e^{x} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Divide cada término en $- e^{- y} = e^{x} + K$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $- e^{- y} = e^{x} + K$ por $- 1$ .

$\frac{- e^{- y}}{- 1} = \frac{e^{x}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{e^{- y}}{1} = \frac{e^{x}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.2.2

Divide $e^{- y}$ por $1$ .

$e^{- y} = \frac{e^{x}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{e^{x}}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 1 \cdot e^{x} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot e^{x}$ como $- e^{x}$ .

$e^{- y} = - e^{x} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{K}{- 1}$ .

$e^{- y} = - e^{x} - 1 \cdot K$

Paso 3.1.3.1.4

Reescribe $- 1 \cdot K$ como $- K$ .

$e^{- y} = - e^{x} - K$

Paso 3.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- y}) = \ln (- e^{x} - K)$

Paso 3.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Expande $\ln (e^{- y})$ ; para ello, mueve $- y$ fuera del logaritmo.

$- y \ln (e) = \ln (- e^{x} - K)$

Paso 3.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$- y \cdot 1 = \ln (- e^{x} - K)$

Paso 3.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- y = \ln (- e^{x} - K)$

Paso 3.4

Divide cada término en $- y = \ln (- e^{x} - K)$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.4.1

Divide cada término en $- y = \ln (- e^{x} - K)$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (- e^{x} - K)}{- 1}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (- e^{x} - K)}{- 1}$

Paso 3.4.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (- e^{x} - K)}{- 1}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\ln (- e^{x} - K)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (- e^{x} - K)$

Paso 3.4.3.2

Reescribe $- 1 \cdot \ln (- e^{x} - K)$ como $- \ln (- e^{x} - K)$ .

$y = - \ln (- e^{x} - K)$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = - \ln (- e^{x} + K)$