Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + 3 y = 3 x^{3} e^{- 3 x}$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 3$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int 3 d x}$

Paso 1.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{3 x + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{3 x}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{3 x}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} (3 x^{3} e^{- 3 x})$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} (3 x^{3} e^{- 3 x})$

Paso 2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 3 e^{3 x} (x^{3} e^{- 3 x})$

Paso 2.4

Multiplica $e^{3 x}$ por $e^{- 3 x}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.1

Mueve $e^{- 3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 3 (e^{- 3 x} e^{3 x}) x^{3}$

Paso 2.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 3 e^{- 3 x + 3 x} x^{3}$

Paso 2.4.3

Suma $- 3 x$ y $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 3 e^{0} x^{3}$

Paso 2.5

Simplifica $3 e^{0} x^{3}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 3 x^{3}$

Paso 2.6

Reordena los factores en $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 3 x^{3}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = 3 x^{3}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = 3 x^{3}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int 3 x^{3} d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{3 x} y = \int 3 x^{3} d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$e^{3 x} y = 3 \int x^{3} d x$

Paso 6.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$e^{3 x} y = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Paso 6.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.3.1

Reescribe $3 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ como $3 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ .

$e^{3 x} y = 3 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Paso 6.3.2

Combina $3$ y $\frac{1}{4}$ .

$e^{3 x} y = \frac{3}{4} x^{4} + C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{3 x} y = \frac{3}{4} x^{4} + C$ por $e^{3 x}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $e^{3 x} y = \frac{3}{4} x^{4} + C$ por $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{3}{4} x^{4}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{3 x}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{3}{4} x^{4}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{3}{4} x^{4}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Combina $\frac{3}{4}$ y $x^{4}$ .

$y = \frac{\frac{3 x^{4}}{4}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.3.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{3 x^{4}}{4} \cdot \frac{1}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.3.1.3

Combinar.

$y = \frac{3 x^{4} \cdot 1}{4 e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Paso 7.3.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$y = \frac{3 x^{4}}{4 e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$