Cálculo Ejemplos

$8 y \frac{d y}{d x} = 9 x^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$8 y d y = 9 x^{2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int 8 y d y = \int 9 x^{2} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Dado que $8$ es constante con respecto a $y$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$8 \int y d y = \int 9 x^{2} d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 9 x^{2} d x$

Paso 2.2.3

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1

Reescribe $8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ como $8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Paso 2.2.3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.2.1

Combina $8$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8}{2} y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Paso 2.2.3.2.2

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Paso 2.2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Paso 2.2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Paso 2.2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{1} y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Paso 2.2.3.2.2.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \int 9 x^{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Dado que $9$ es constante con respecto a $x$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$4 y^{2} + C_{1} = 9 \int x^{2} d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1

Reescribe $9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ como $9 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 9 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.2.1

Combina $9$ y $\frac{1}{3}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{9}{3} x^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común de $9$ y $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3} x^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{3}{1} x^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$4 y^{2} + C_{1} = 3 x^{3} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$4 y^{2} = 3 x^{3} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Divide cada término en $4 y^{2} = 3 x^{3} + K$ por $4$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Divide cada término en $4 y^{2} = 3 x^{3} + K$ por $4$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{3 x^{3}}{4} + \frac{K}{4}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{3 x^{3}}{4} + \frac{K}{4}$

Paso 3.1.2.1.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{3 x^{3}}{4} + \frac{K}{4}$

Paso 3.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 x^{3}}{4} + \frac{K}{4}}$

Paso 3.3

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{3 x^{3}}{4} + \frac{K}{4}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 x^{3} + K}{4}}$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{3 x^{3} + K}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} (3 x^{3} + K)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $3 x^{3} + K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (3 x^{3} + K)}{4}}$

Paso 3.3.2.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (3 x^{3} + K)}{2^{2} \cdot 1}}$

Paso 3.3.2.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} (3 x^{3} + K)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (3 x^{3} + K)}$

Paso 3.3.3

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{3 x^{3} + K}$

Paso 3.3.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{3 x^{3} + K}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{2}$

Paso 3.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{2}$

Paso 3.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{2}$

Paso 3.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{3 x^{3} + K}}{2}$