Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (y)}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\tan^{2} (y)$ .

$\tan^{2} (y) \frac{d y}{d x} = \tan^{2} (y) \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (y)}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $\tan^{2} (y)$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\tan^{2} (y) \frac{d y}{d x} = \tan^{2} (y) \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (y)}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\tan^{2} (y) \frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x)$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\tan^{2} (y) d y = \sec^{2} (x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \tan^{2} (y) d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (y)$ como $- 1 + \sec^{2} (y)$ .

$\int - 1 + \sec^{2} (y) d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Paso 2.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - 1 d y + \int \sec^{2} (y) d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Paso 2.2.3

Aplica la regla de la constante.

$- y + C_{1} + \int \sec^{2} (y) d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Paso 2.2.4

Como la derivada de $\tan (y)$ es $\sec^{2} (y)$ , la integral de $\sec^{2} (y)$ es $\tan (y)$ .

$- y + C_{1} + \tan (y) + C_{2} = \int \sec^{2} (x) d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$- y + \tan (y) + C_{3} = \int \sec^{2} (x) d x$

Paso 2.3

Como la derivada de $\tan (x)$ es $\sec^{2} (x)$ , la integral de $\sec^{2} (x)$ es $\tan (x)$ .

$- y + \tan (y) + C_{3} = \tan (x) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- y + \tan (y) = \tan (x) + K$