Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = y + \sin (x)$

Paso 1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} - y = \sin (x)$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - 1$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int - 1 d x}$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{- x + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- x}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{- x}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} \sin (x)$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} \sin (x)$

Paso 3.3

Reordena los factores en $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} \sin (x)$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = e^{- x} \sin (x)$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = e^{- x} \sin (x)$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int e^{- x} \sin (x) d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{- x} y = \int e^{- x} \sin (x) d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Reordena $e^{- x}$ y $\sin (x)$ .

$e^{- x} y = \int \sin (x) e^{- x} d x$

Paso 7.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \sin (x)$ y $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} \cos (x) d x$

Paso 7.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) - - \int e^{- x} \cos (x) d x$

Paso 7.4

Simplifica la expresión.

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Paso 7.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} \cos (x) d x$

Paso 7.4.2

Multiplica $\int e^{- x} \cos (x) d x$ por $1$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \int e^{- x} \cos (x) d x$

Paso 7.4.3

Reordena $e^{- x}$ y $\cos (x)$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \int \cos (x) e^{- x} d x$

Paso 7.5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \cos (x)$ y $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (- \sin (x)) d x$

Paso 7.6

Dado que $- - 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- - 1$ fuera de la integral.

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x}) - (- - 1 \int e^{- x} (\sin (x)) d x)$

Paso 7.7

Multiplica.

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Paso 7.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x}) - (1 \int e^{- x} (\sin (x)) d x)$

Paso 7.7.2

Multiplica $\int e^{- x} (\sin (x)) d x$ por $1$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x}) - \int e^{- x} (\sin (x)) d x$

Paso 7.8

Al resolver $\int e^{- x} \sin (x) d x$ , obtenemos que $\int e^{- x} \sin (x) d x$ = $\frac{\sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x})}{2}$ .

$e^{- x} y = \frac{\sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x})}{2} + C$

Paso 7.9

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.9.1

Reescribe $\frac{\sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x})}{2} + C$ como $\frac{- \sin (x) e^{- x} - \cos (x) e^{- x}}{2} + C$ .

$e^{- x} y = \frac{- \sin (x) e^{- x} - \cos (x) e^{- x}}{2} + C$

Paso 7.9.2

Simplifica.

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Paso 7.9.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.9.2.1.1

Factoriza $e^{- x}$ de $- \sin (x) e^{- x} - \cos (x) e^{- x}$ .

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Paso 7.9.2.1.1.1

Factoriza $e^{- x}$ de $- \sin (x) e^{- x}$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- \sin (x)) - \cos (x) e^{- x}}{2} + C$

Paso 7.9.2.1.1.2

Factoriza $e^{- x}$ de $- \cos (x) e^{- x}$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- \sin (x)) + e^{- x} (- \cos (x))}{2} + C$

Paso 7.9.2.1.1.3

Factoriza $e^{- x}$ de $e^{- x} (- \sin (x)) + e^{- x} (- \cos (x))$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- \sin (x) - \cos (x))}{2} + C$

Paso 7.9.2.1.2

Factoriza $- 1$ de $- \sin (x) - \cos (x)$ .

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Paso 7.9.2.1.2.1

Factoriza $- 1$ de $- \sin (x)$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- (\sin (x)) - \cos (x))}{2} + C$

Paso 7.9.2.1.2.2

Factoriza $- 1$ de $- \cos (x)$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- (\sin (x)) - (\cos (x)))}{2} + C$

Paso 7.9.2.1.2.3

Factoriza $- 1$ de $- (\sin (x)) - (\cos (x))$ .

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- (\sin (x) + \cos (x)))}{2} + C$

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} \cdot - 1 (\sin (x) + \cos (x))}{2} + C$

Paso 7.9.2.1.3

Factoriza el negativo.

$e^{- x} y = \frac{- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x))}{2} + C$

Paso 7.9.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{- x} y = - \frac{1}{2} e^{- x} (\sin (x) + \cos (x)) + C$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Combina $e^{- x}$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{- x} y = - \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x)) + C$

Paso 8.2

Divide cada término en $e^{- x} y = - \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x)) + C$ por $e^{- x}$ y simplifica.

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Paso 8.2.1

Divide cada término en $e^{- x} y = - \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x)) + C$ por $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.2.1

Cancela el factor común de $e^{- x}$ .

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Paso 8.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 8.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 8.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.3.1.1

Factoriza $\frac{e^{- x}}{2}$ de $\frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}}$ .

$y = \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 8.2.3.1.2

Combinar.

$y = \frac{e^{- x} (- 1 \cdot (\sin (x) + \cos (x)))}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 8.2.3.1.3

Cancela el factor común de $e^{- x}$ .

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Paso 8.2.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{e^{- x} (- 1 \cdot (\sin (x) + \cos (x)))}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 8.2.3.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{- 1 \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{2} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 8.2.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{\sin (x) + \cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{- x}}$