Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + 4 y - e^{- x} = 0$ , $y (0) = \frac{4}{3}$

Paso 1

Suma $e^{- x}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} + 4 y = e^{- x}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 4$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int 4 d x}$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{4 x + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{4 x}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{4 x}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + e^{4 x} (4 y) = e^{4 x} e^{- x}$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x} e^{- x}$

Paso 3.3

Multiplica $e^{4 x}$ por $e^{- x}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x - x}$

Paso 3.3.2

Resta $x$ de $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{3 x}$

Paso 3.4

Reordena los factores en $e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{3 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 y e^{4 x} = e^{3 x}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x} y] = e^{3 x}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{4 x} y] d x = \int e^{3 x} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{4 x} y = \int e^{3 x} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Sea $u = 3 x$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.1.1

Deja $u = 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.1.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 7.1.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 7.1.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 7.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{4 x} y = \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Paso 7.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$e^{4 x} y = \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Paso 7.3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$e^{4 x} y = \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Paso 7.4

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Paso 7.5

Simplifica.

$e^{4 x} y = \frac{1}{3} e^{u} + C$

Paso 7.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{3} e^{3 x} + C$

Paso 8

Divide cada término en $e^{4 x} y = \frac{1}{3} e^{3 x} + C$ por $e^{4 x}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $e^{4 x} y = \frac{1}{3} e^{3 x} + C$ por $e^{4 x}$ .

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{3} e^{3 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $e^{4 x}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{3} e^{3 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} e^{3 x}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $e^{3 x}$ y $e^{4 x}$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Factoriza $e^{4 x}$ de $\frac{1}{3} e^{3 x}$ .

$y = \frac{e^{4 x} (\frac{1}{3} e^{- x})}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 8.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.1.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{e^{4 x} (\frac{1}{3} e^{- x})}{e^{4 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 8.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{e^{4 x} (\frac{1}{3} e^{- x})}{e^{4 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 8.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\frac{1}{3} e^{- x}}{1} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 8.3.1.1.2.4

Divide $\frac{1}{3} e^{- x}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{3} e^{- x} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 8.3.1.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{- x}$ .

$y = \frac{e^{- x}}{3} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Paso 9

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $\frac{4}{3}$ por $y$ en $y = \frac{e^{- x}}{3} + \frac{C}{e^{4 x}}$ .

$\frac{4}{3} = \frac{e^{0}}{3} + \frac{C}{e^{4 \cdot 0}}$

Paso 10

Resuelve $C$

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Paso 10.1

Reescribe la ecuación como $\frac{e^{0}}{3} + \frac{C}{e^{4 \cdot 0}} = \frac{4}{3}$ .

$\frac{e^{0}}{3} + \frac{C}{e^{4 \cdot 0}} = \frac{4}{3}$

Paso 10.2

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{C}{e^{4 \cdot 0}} = \frac{4}{3}$

Paso 10.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 10.2.2.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{1}{3} + \frac{C}{e^{0}} = \frac{4}{3}$

Paso 10.2.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{C}{1} = \frac{4}{3}$

Paso 10.2.3

Divide $C$ por $1$ .

$\frac{1}{3} + C = \frac{4}{3}$

Paso 10.3

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.3.1

Resta $\frac{1}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$C = \frac{4}{3} - \frac{1}{3}$

Paso 10.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$C = \frac{4 - 1}{3}$

Paso 10.3.3

Resta $1$ de $4$ .

$C = \frac{3}{3}$

Paso 10.3.4

Divide $3$ por $3$ .

$C = 1$

Paso 11

Sustituye $1$ por $C$ en $y = \frac{e^{- x}}{3} + \frac{C}{e^{4 x}}$ y simplifica.

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Paso 11.1

Sustituye $1$ por $C$ .

$y = \frac{e^{- x}}{3} + \frac{1}{e^{4 x}}$