Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 (1 + y^{2}) x$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} (2 (1 + y^{2}) x)$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x)$

Paso 1.2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x)$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de $1 + y^{2}$ .

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Paso 1.2.3.1

Factoriza $1 + y^{2}$ de $(1 + y^{2}) x$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) (x))$

Paso 1.2.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x)$

Paso 1.2.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = 2 x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int 2 x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int 2 x d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ con respecto a $y$ es $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int 2 x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\arctan (y) + C_{1} = 2 \int x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\arctan (y) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\arctan (y) = x^{2} + K$

Paso 3

Calcula la inversa de la arcotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la arcotangente.

$y = \tan (x^{2} + K)$