Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = {(1 - y)}^{2}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{{(1 - y)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(1 - y)}^{2}} {(1 - y)}^{2}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de ${(1 - y)}^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{{(1 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(1 - y)}^{2}} {(1 - y)}^{2}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{{(1 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{{(1 - y)}^{2}} d y = 1 d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{{(1 - y)}^{2}} d y = \int d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = 1 - y$ . Entonces $d u = - d y$ , de modo que $- d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = 1 - y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 2.2.1.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u^{2}} d u = \int d x$

Paso 2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - \frac{1}{u^{2}} d u = \int d x$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{u^{2}} d u = \int d x$

Paso 2.2.4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.4.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int d x$

Paso 2.2.4.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{2 \cdot - 1} d u = \int d x$

Paso 2.2.4.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \int u^{- 2} d u = \int d x$

Paso 2.2.5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$- (- u^{- 1} + C_{1}) = \int d x$

Paso 2.2.6

Simplifica.

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Paso 2.2.6.1

Reescribe $- (- u^{- 1} + C_{1})$ como $- - \frac{1}{u} + C_{1}$ .

$- - \frac{1}{u} + C_{1} = \int d x$

Paso 2.2.6.2

Simplifica.

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Paso 2.2.6.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{1}{u} + C_{1} = \int d x$

Paso 2.2.6.2.2

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $1$ .

$\frac{1}{u} + C_{1} = \int d x$

Paso 2.2.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - y$ .

$\frac{1}{1 - y} + C_{1} = \int d x$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{1 - y} + C_{1} = x + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{1 - y} = x + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1 - y, 1, 1$

Paso 3.1.2

Elimina los paréntesis.

$1 - y, 1, 1$

Paso 3.1.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$1 - y$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $\frac{1}{1 - y} = x + K$ por $1 - y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{1 - y} = x + K$ por $1 - y$ .

$\frac{1}{1 - y} (1 - y) = x (1 - y) + K (1 - y)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $1 - y$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{1 - y} (1 - y) = x (1 - y) + K (1 - y)$

Paso 3.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = x (1 - y) + K (1 - y)$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = x \cdot 1 + x (- y) + K (1 - y)$

Paso 3.2.3.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$1 = x + x (- y) + K (1 - y)$

Paso 3.2.3.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = x - x y + K (1 - y)$

Paso 3.2.3.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = x - x y + K \cdot 1 + K (- y)$

Paso 3.2.3.1.5

Multiplica $K$ por $1$ .

$1 = x - x y + K + K (- y)$

Paso 3.2.3.1.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = x - x y + K - K y$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $x - x y + K - K y = 1$ .

$x - x y + K - K y = 1$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$- x y + K - K y = 1 - x$

Paso 3.3.2.2

Resta $K$ de ambos lados de la ecuación.

$- x y - K y = 1 - x - K$

Paso 3.3.3

Factoriza $y$ de $- x y - K y$ .

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Paso 3.3.3.1

Factoriza $y$ de $- x y$ .

$y (- x) - K y = 1 - x - K$

Paso 3.3.3.2

Factoriza $y$ de $- K y$ .

$y (- x) + y (- K) = 1 - x - K$

Paso 3.3.3.3

Factoriza $y$ de $y (- x) + y (- K)$ .

$y (- x - K) = 1 - x - K$

Paso 3.3.4

Divide cada término en $y (- x - K) = 1 - x - K$ por $- x - K$ y simplifica.

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Paso 3.3.4.1

Divide cada término en $y (- x - K) = 1 - x - K$ por $- x - K$ .

$\frac{y (- x - K)}{- x - K} = \frac{1}{- x - K} + \frac{- x}{- x - K} + \frac{- K}{- x - K}$

Paso 3.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.4.2.1

Cancela el factor común de $- x - K$ .

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Paso 3.3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (- x - K)}{- x - K} = \frac{1}{- x - K} + \frac{- x}{- x - K} + \frac{- K}{- x - K}$

Paso 3.3.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{1}{- x - K} + \frac{- x}{- x - K} + \frac{- K}{- x - K}$

Paso 3.3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.4.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{1}{- x - K} - \frac{x}{- x - K} + \frac{- K}{- x - K}$

Paso 3.3.4.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{1}{- x - K} - \frac{x}{- x - K} - \frac{K}{- x - K}$

Paso 3.3.4.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.4.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{1 - x}{- x - K} - \frac{K}{- x - K}$

Paso 3.3.4.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{1 - x - K}{- x - K}$

Paso 3.3.4.3.2.3

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y = \frac{1 - x - K}{- (x) - K}$

Paso 3.3.4.3.2.4

Factoriza $- 1$ de $- (x) - K$ .

$y = \frac{1 - x - K}{- (x + K)}$

Paso 3.3.4.3.2.5

Reescribe los negativos.

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Paso 3.3.4.3.2.5.1

Reescribe $- (x + K)$ como $- 1 (x + K)$ .

$y = \frac{1 - x - K}{- 1 (x + K)}$

Paso 3.3.4.3.2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1 - x - K}{x + K}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = - \frac{1 - x + K}{x + K}$